2025届高中数学一轮复习专题练 空间向量 与立体几何

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 空间向量 与立体几何，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若空间中有三点,,,则点到平面ABC的距离为( )
A.B.C.D.
2．若是空间中的一组基底,则下列可与向量,构成基底的向量是( )
A.B.C.D.
3．如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．已知为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
5．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是( )
A.B.C.D.
6．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足.若，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
7．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的值可以为( )
A.B.C.D.
8．如图,四棱柱中,M为的中点,Q为上靠近点的五等分点,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为(A，B，C，，)，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于__________.
10．直线l的方向向量为,且l过点,则点到直线l的距离为________.
11．在空间直角坐标系中已知，CD为三角形ABC边AB上的高，则_____．
四、解答题
12．如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点.
（1）求证：存在点N，使得.
（2）求二面角的正弦值.
13．已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCDE为AD上一点，.
(1)求AB的长；
(2)若E为AD的中点，求平面PEB与平面EBA所成角的余弦值；
(3)若M为PB上一点，且满足，求.
参考答案
1．答案：D
解析：,,,
设平面ABC的一个法向量为,
由得,令得,,
所以,
则点到平面ABC的距离为.
故选:D.
2．答案：B
解析：由是空间中的一组基底,故,,两两不共线,
对A:有,故A错误;
对B:设,则有,
该方程无解,故可与构成基底,故B正确;
对C:有,故C错误;
对D:有,故D错误.
故选:B.
3．答案：B
解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
设平面AMN的法向量为，
由于，，则
即
令，解得，，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.
4．答案：C
解析：,A错误.,B错误.易得,,三个向量不共面,C正确.,D错误.
5．答案：B
解析：
因为，且是直角三角形，
所以.以B为原点，
分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，
所以，，，，
则，.故点F到直线AC的距离.
故点F到直线AC的距离是.
6．答案：C
解析：由题意知
.
故选C.
7．答案：BD
解析：以点为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
则，
，
所以，，
因为，则，所以，，
所以，，
故选：BD.
8．答案：BD
解析：,
即,故A错误、B正确;
,
即,故C错误,D正确.
故选:BD.
9．答案：
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.设平面PAB的方程为(A，B，C，，)，分别将A，B，P的坐标代入，得解得，，，所以，即，所以.
10．答案：
解析：,点P到直线l的距离为.
故答案为:.
11．答案：3
解析：，，则，
，
所以，
故答案为：3
12．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面，平面PBC，所以平面PBC.
又，平面ADM，
所以平面平面PBC.
又平面AMD，所以平面PBC，
所以平面MABN与PC必有交点，且该交点为N，使.
（2）以D为原点，DC，DM所在直线分别为y，z轴，过点D在平面ABCD内作垂直于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为四边形ABCD是菱形，，所以，
又，，平面ABCD，
所以，，，，.
设平面AMP的法向量为.
则有
即
取，则.
设平面MPC的法向量为，
则有
即取，则.
则，
所以二面角的正弦值为.
13．答案：(1)2；
(2)
(3)10.
解析：(1)因为底面ABCD为矩形，
所以,，
因为底面ABCD,底面ABCD，
所以，
又平面PDC，
所以平面PDC，
又平面PDC，
所以，
因为，
所以为直线AD与PB所成的角，
即，
设，
则，
在中，
又，
所以，
解得或（舍去），
所以；
(2)法一：在平面ABCD内过点D作交BE的延长线于点F，连接PF，
因为底面底面ABCD，
所以，
又平面PDF，
所以平面，
又平面PDF，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为E为AD的中点，
所以，
所以，
所以平面PEB与平面EBA所成角的余弦值为；
法二：，
设平面PEB的一个法向量为，
令，得，
，
设平面EBA的一个法向量为，
，
平面PEB与平面EBA所成角的余弦值为.
(3)依题意，
又，
所以，
又，
所以，
又平面PBC，
所以平面PBC，
在平面PDC内过点D作，垂足为N，
由平面平面PDC，
所以，
又平面PBC，
所以平面，
在平面PBC内过点N作交PB于点M，
在DA上取点E，使得，连接EM，
所以且，
所以四边形DEMN为平行四边形，
所以，
又，
即，
所以.