重庆市2024年中考真题(A卷)数学试卷

这是一份重庆市2024年中考真题(A卷)数学试卷，共18页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；， 已知，则实数的范围是等内容，欢迎下载使用。

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】A
2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】C
4. 如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】B
7. 已知，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：＝_____．
【答案】3
12. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为______．
【答案】9
13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____．
【答案】
14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．
【答案】
15. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______．
【答案】
16. 若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】16
17. 如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则______．______．
【答案】8
18. 我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______．
【答案】
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
20. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？
解：（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为，
八年级竞赛成绩中组：（人），
组：（人），
组：人，所占百分比为
组：（人）所占百分比为，则，
∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数，
即组第个同学竞赛成绩的平均数，
故答案为：，，；
（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由：
七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
（3）（人），
答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人．
21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴①，．
∵点是的中点，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④四边形是菱形．
22. 为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
解：（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
23. 如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）由函数图象可知，当时取值范围．
24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
解：（1）如图，过作于点，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达港．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
解：（1）令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将和代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）令，则，解得或，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设（），则，
∴，
∵，
∴当时，最大，此时，
∴，，，
∴，，
连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，
∴，
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
作关于直线的对称线得交抛物线于点，
∴，
设交轴于点，
由旋转的性质得到，
过点作轴，作轴于点，作于点，
当时，，
解得，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴，
综上，符合条件的点的坐标为或．
26. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．

（1）如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）；
（2）如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
解：（1）如图，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
在上截取，连接，交于点H，

∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
记与的交点为点N，
则由轴对称可知：，，
∴中，，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，记与的交点为点N，

∵，
∴，
由轴对称知，
当点G在边上时，由于，
∴当为等腰三角形时，只能是，
同（1）方法得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中，，解得，
∴，而，
∴为等边三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点G在延长线上时，只能是，如图：

设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
解得，
∴，
设，则，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
∴，
∴，∴，
综上所述：或．年级
七年级
八年级
平均数
中位数
众数