浙江省台州市临海市第六教研区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份浙江省台州市临海市第六教研区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，细心填一填，耐心解一解等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；
B.，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D.，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．，错误，不符合题意；
B．，错误，不符合题意；
C．正确，符合题意；
D．，错误，不符合题意；
故选：C．
3. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的面积相等B. 如果，那么
C. 对顶角相等D. 两直线平行，同旁内角互补
【答案】D
【解析】A.“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”是假命题，故A不符合题意；
B.“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”是假命题，故B不符合题意；
C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故C不符合题意；
D.“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故D符合题意；
故选：D．
4. 如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=6，BC=4，则EC的长（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
【答案】C
【解析】根据平行四边形的对边相等，得：CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴ED＝AD＝4，
∴EC＝CD−ED＝6−4＝2，
故选：C．
5. 若为实数，“”的运算结果为有理数，则可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
6. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）米．
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】如图，过C点作于E，连接，
则是矩形，
设大树高为，小树高为，
，
在中，由勾股定理得：
即小鸟至少飞行，
故选：C．
7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）

A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它矩形D. 当时，它是正方形
【答案】D
【解析】A.由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
B.由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
C.由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故不符合题意；
D.由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故符合题意；
故选D．
8. 如图所示，在菱形中，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 20B. 24C. 26D. 32
【答案】B
【解析】连接交于点O，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故选：B．
9. 如图，将矩形沿折叠后点D与B重合，若原矩形的长宽之比为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将矩形沿折叠后点D与B重合，∴，
∵原矩形的长宽之比为，
∴设，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，∴．故选：D．
10. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，过点P作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，

由题可得，，
∴，
又∵，
∴，即平分，
又∵，，
∴，
∵正方形和正方形的面积分别为，，且，，
∴正方形的面积，
∴正方形和正方形的面积之比为，
∴，
∴，
故选：A．
二、细心填一填
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
12. 比较大小：__________．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】，，
，
．
故答案为：＜．
13. 如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，
∠AFC=90°，BC=10cm，AC=6cm，则DF=________cm．
【答案】2
【解析】∵点D，点E分别是AB，AC的中点
∴DE是△ABC的中位线，DE=BC=5
又因为∠AFC=90°，根据直角三角形的斜边中线长等于斜边的一半，所以EF=AC=3
∴DF=DE-EF=2cm，答案是2.
14. 我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，此时，则点C的对应点的坐标为_______．
【答案】
【解析】∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
15. 如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是________．
【答案】
【解析】当吸管与杯底垂直时x最大，
；
当吸管与杯底及杯高构成直角三角形时x最小，
∴
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，，为边上一点，，为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，当运动到中点时，的长度为________；在运动过程中，的最小值为________．

【答案】
【解析】连接，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵、，
∴四边形是矩形，
∴，∵四边形是正方形，
∴，
∵运动到中点，
∴，，
∴点、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴；

连接，，
∵、，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴（正方形的对称性），
∴，
∴，
∴当有最小值时，有最小值，此时、、共线，即的最小值为，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：，．

三、耐心解一解
17. 计算：
（1）；
（2）．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
．
18. 如图，在中，，是对角线上的两个点，且，求证：四边形是平行四边形．

证明：连接，与的交点为点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
19. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺，
由勾股定理：，
解得：，
∴，
答：水深12尺，芦苇长度是13尺．
20. 如图是边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．
（1）为______三角形；
（2）仅用无刻度的直尺画图（画图用实线，要体现过程并保留痕迹）
①在图（1）中的上画点D．连接，使；
②在图（2）中的网格上画格点E，使．
（1）解：，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（2）解：①如图，即为所求：
根据矩形对角线相等且互相平分得到点D为中点，
∵，
∴；
②如图，即为所求：
此时与水平线的夹角为，
∴，
∴根据平行线间的距离处处相等，得到与等高，又同底，
∴．
21. 设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：．
证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，
∵ab＝ch，
∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，
∴＝，
即．
22. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．
解：（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AE＝DB，
∵∠DCB＝90°，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵AC＝16，BD＝20，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝10，CF＝8，
∵EF⊥AC．
∴EF=＝＝6．
23. 阅读材料：
已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
请你用上述方法解答下列问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（2）解：∵，
，
∴
．
24. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形；这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，这条对角线称为这个四边形的弦边．
（1）在平行四边形、矩形、菱形，正方形四种图形中，一定为勾股四边形的是_______；
（2）如图1所示，四边形的顶点都是正方形网格中的格点，每个小正方形的边长为1，试说明四边形是勾股四边形，并指出它的勾股边与弦边；
（3）如图2，是一个直角三角形，，记，，．现构造平行四边形与平行四边形，若四边形是一个勾股四边形，对角线是这个勾股四边形的弦边，且；
①求的周长；
②点是线段上的一点，请直接写出的值，使四边形为勾股四边形．
（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为勾股四边形的有矩形、正方形；
矩形和正方形的四个角都是直角，由勾股定理得相邻两边的平方和等于对角线的平方，
矩形和正方形是勾股四边形；
故答案为：矩形、正方形；
（2）证明：，根据勾股定理得：，，，，，
，
四边形是勾股四边形；
勾股边为和，弦边为；
（3）解：①延长、，交于点，如图2所示：
四边形和四边形是平行四边形，
，，，，，
四边形是平行四边形，
又，四边形是矩形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
即，
四边形是一个勾股四边形，对角线是这个勾股四边形的弦边，且，
，或，或，或，
当时，
在中，，
，
，
解得：，
，
的周长；
当，或，或时，与分别联立方程组，所得解无意义；
综上所述，的周长为；
②作于，则，四边形为勾股四边形，、为勾股边，为弦边；
或，四边形为勾股四边形，、为勾股边，为弦边；
如图3所示：
当弦边：，，，
的面积，，
在中，由勾股定理得：；
当为弦边时，与可能为勾股边，如图所示，过点B作，连接，
此时，可求得，，，∴，
∵，∴不可能为勾股边，
∵，∴，
∴不可能为勾股边，可能均为勾股边，
此时，可求得，
综上：当或时，四边形为勾股四边形．