浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷(解析版)

这是一份浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C．
2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】由题意得，故其虚部为.
故选：C．
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】因为角的终边经过点，所以.
故选：A．
4. 正方体的平面展开图如图所示，，，，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】B
【解析】将展开图合成一个正方体，如图所示：
连接和，
由正方体性质可得：，，四边形为正方形，
则四边形为平行四边形，，
所以，所以，
同理可得：，
因，所以为异面直线与所成的角或其补角，
又因为，所以为等边三角形，
则，
同理可得：与所成角为；与所成角为；与所成角为，
综上可得：与垂直；与所成角为；与所成角为；
与所成角为；与所成角为；与垂直；故有2对.
故选：B．
5. 在中，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，由正弦定理可得，
又因为，可知，
且，可得或，
显然是真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
6. 已知函数则函数的零点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.
故选：C．
7. 已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
令，，，，
因为，，要使存在最大值，
只需，即，所以.
故选：B．
8. 《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，的中点分别为，，连接，取的中点，
直三棱柱中，，，
四边形是平行四边形，有，
因为三棱柱的底面是直角三角形，，
所以，，
，分别是，的外接圆圆心，
因为平面，所以平面，
所以为的外接球的球心，
连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，
，则，，可得，，
所以三棱柱的表面积.
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】如图，由题意易知在平面上，
对于A，平面，平面，，
由异面直线的定义知，与直线是异面直线，故A正确；
对于B，平面，平面，，由异面直线的定义知，
与直线是异面直线，故B正确；
对于C，平面，平面，，由异面直线的定义知，
与直线是异面直线，故C正确；
对于D，当为的中点时，，所以D错误.
故选：ABC．
10. 已知函数，则（ ）
A. B. 在上只有1个零点
C. 在上单调递增D. 直线为图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】对A：，故A正确；
对B：当时，，
则在上只有1个零点，故B正确；
对C：当时，，故C错误；
对D：当时，，故D正确．
故选：ABD.
11. 如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（ ）
A 设，，若，则
B. 设，，若，则
C. 设，则
D. 设，，若与的夹角为，则
【答案】BD
【解析】对于A，若，则，
，故A错误；
对于B，若，则，
则，所以，故B正确；
对于C，，，故C错误；
对于D，，
即，
解得，所以，故D正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限．
【答案】二
【解析】根据题意，，
所以在复平面内对应的点为，在第二象限．
故答案为：二.
13. 已知函数，若，则________．
【答案】6
【解析】令，，
所以为奇函数，
所以，所以，
所以，所以．
故答案为：6.
14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________．
【答案】
【解析】因为直线与平面所成的角为，
所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上，
又因为点是正方体表面上的一个动点，
所以点轨迹如图所示，
则点的轨迹长为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求当时，的解析式；
（2）求在上的值域.
解：（1）∵当时，，
∴当时，，，
∴.
（2）∵当时，单调递增，∴，
由奇函数性质可得，当时，，
又，
∴在上的值域为.
16. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上．
（1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值；
（2）求的取值范围．
解：（1）由题意，，
∵，，
∴
．
（2）设则，
∴，
∴，
显然为增函数，因，故．
17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，且是锐角三角形，求面积的最大值．
解：（1）∵，由正弦定理可得：，
因为，所以，
∴，即或．
（2）∵是锐角三角形，∴，，
则，
又，
∴，当且仅当时，等号成立，
∵，
∴．
18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
解：（1）如图，连接交于点，
因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）因，且，易得，
则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角），
因为，所以，
即与所成角的大小为.
（3）连接，过作于点，
因为平面，且平面，
所以，又且，所以平面，
因为平面，所以，
又，且，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为（或其补角），
因为正方体的边长为1，所以，，所以.
19. 当且时，对一切，恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究．
（1）若正数，满足，当时，求的值；
（2）除整数对，请再举出一个整数对满足；
（3）证明：当时，只有一对正整数对使得等式成立．
解：（1）当时，则，
∴，即，
∴．
（2）当时，，
所以整数对为.
（3）证明：∵，
∴，且，
当时，，显然无解，
当时，，
可得，无正整数解，
同理，当和时，也无正整数解，
当，时，，
∵，∴由复合函数单调性可得，
又∵，∴当且仅当时，原等式成立.