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2024-2025学年江西省九江市同文中学高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年江西省九江市同文中学高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|x>1}B. {x|x≥1}C. {x|12.满足{1}⊆X⫋{1,2,3,4}的集合X有( )
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知a>b>c>d，下列选项中正确的是( )
A. 1a<1bB. ac2+1>bc2+1C. ad>bcD. ac>bd
5.已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围是( )
A. {x|−4C. {x|−26.已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. (−∞,−3]C. [−1,+∞)D. [1,+∞)
7.若a，b>0，ab+2a+b=4，则a+b的最小值为( )
A. 2B. 6−1C. 2 6−2D. 2 6−3
8.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，则下面选项正确的为( )
A. 2025∈[3]
B. −2∈[2]
C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D. 整数a、b属于同一“类”的充分不必要要条件是“a−b∈[0]”
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题“∀−1≤x≤3，x2−m≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. m≥9B. m≥11C. m≥10D. m≤10
10.下列说法正确的是( )
A. a>b的一个必要条件是a−1>b
B. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=4
C. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为4
11.若x+y+z=2023，x，y，z∈R．1x+1y+1z=12023，则以下说法正确的有( )
A. (x+y)(y+z)(z+x)的最大值为827⋅20233
B. (x+2023)(y+2023)(z+2023)的最大值为2⋅20233
C. (x−2023)(y−2023)(z−2023)的最大值为0
D. xy+yz+zx恒小于0
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.命题“∀1≤x≤2，使x2−a≥0”是真命题，则a的取值范围是 ．
13.已知014.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，B={a12,a22,a32,a42,a52}，其中a1、a2、a3、a4、a5是五个不同的正整数，且a1四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知全集U={x|−6≤x≤5}，M={x|−3(1)求M∩(∁UN)；
(2)若C={x|a≤x≤2a−1}且C⊆(∁UM)，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，q：m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
不等关系是数学中一种最基本的数量关系．请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同．哪种采购方案更经济，请说明理由．
18.(本小题16分)
已知函数f(x)=x2−2ax−1+a，a∈R．
(1)若a=2，试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
19.(本小题17分)
对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)，若存在x0∈R，使得mx02+nx0+t=x0成立，则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点．
(1)求二次函数y=x2−x−3的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−(3+a)x+a−1有两个不相等的不动点x1、x2，且x1、x2>0，求x1x2+x2x1的最小值．
(3)若对任意实数b，二次函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，求a的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.B
5.D
6.D
7.D
8.C
9.BC
10.CD
11.CD
12.{a|a≤1}
13.92
14.A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
15.解：(1)因为U={x|−6≤x≤5}，N={x|0所以∁UN={x|−6≤x≤0或2≤x≤5}，
因为M={x|−3所以M∩(∁UN)={x|−3(2)因为U={x|−6≤x≤5}，M={x|−3所以∁UM={x|−6≤x≤−3或2当C=⌀时，C⊆(∁UM)成立，此时a>2a−1，解得a<1，
当C≠⌀时，因为C⊆(∁UM)，
所以a≤2a−12a−1≤−3a≥−6或a≤2a−12a−1≤5a>2，解得2综上，a的取值范围为(−∞,1)∪(2,3]．
16.解：(1)命题¬p是假命题，
则p为真命题，
p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，
则Δ=4a2−4(a2+a−1)≥0，解得a≤1，
故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
(2)q：m−1≤a≤m+3，p：a≤1，
p是q的必要不充分条件，
则m+3≤1，解得m≤−2，
故m的取值范围为{m|m≤−2}．
17.解：(1)该不等式为aba>0,m>0，
证明：因为b>a，所以ab−m+am+b=(a−b)m(m+b)b<0，于是ab(2)若按第一种方案采购，每次购买量为n，
则两次购买的平均价格为p1n+p2n2n=p1+p22，
若按第二种方案采购，每次用的钱数是m，
则两次购买的平均价格为2mmp1+mp2=21p1+1p2，
又p1+p22−21p1+1p2=(p1−p2)22(p1+p2)≥0，
所以第二种方案比较经济．
18.解：(1)依题意得y=f(x)x=x2−4x+1x=x+1x−4(x>0)，
因为x>0，所以x+1x≥2 x·1x=2，当且仅当x=1x时，即x=1时，等号成立，
所以y≥−2，
所以当x=1时，y=f(x)x的最小值为−2．
(2)因为f(x)−a=x2−2ax−1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只需“x2−2ax−1≤0在x∈[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)=x2−2ax−1，则只需g(x)≤0在[0,2]上恒成立．
因为函数g(x)的最大值为g(0)、g(2)}中的较大者，
所以g(0)≤0g(2)≤0，即0−0−1≤04−4a−1≤0，解得a≥34，
所以a的取值范围是[34,+∞).
19.解：(1)由题意知：x2−x−3=x，x2−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，
解得x1=−1，x2=3，所以不动点为−1和3．
(2)依题意，2x2−(3+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2−(4+a)x+a−1=0有两个不相等的正实数根，
所以，解得a>1，
所以x1x2+x2x1=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2=(x1+x2)2x1⋅x2−2=(4+a2)2a−12−2=(a+4)24a−12−2=(a−1+5)22(a−1)−2=(a−1)2+10(a−1)+252(a−1)−2=a−12+252(a−1)+3，
因为a>1，所以a−1>0，
所以a−12+252(a−1)+3≥2 a−12⋅252(a−1)+3=8，当且仅当a−12=252(a−1)，即a=6时等号成立，
所以x1x2+x2x1的最小值为8．
(3)由题知：ax2+(b+1)x+(b−1)=x(a≠0)，
所以ax2+bx+(b−1)=0，由于函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，
所以Δ=b2−4a(b−1)≥0，即b2−4ab+4a≥0，
又因为b是任意实数，所以Δ′=(−4a)2−16a≤0，
即a(a−1)≤0(a≠0)，解得0所以a的取值范围是(0,1]．
1.集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|x>1}B. {x|x≥1}C. {x|1
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知a>b>c>d，下列选项中正确的是( )
A. 1a<1bB. ac2+1>bc2+1C. ad>bcD. ac>bd
5.已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围是( )
A. {x|−4
A. (−∞,1]B. (−∞,−3]C. [−1,+∞)D. [1,+∞)
7.若a，b>0，ab+2a+b=4，则a+b的最小值为( )
A. 2B. 6−1C. 2 6−2D. 2 6−3
8.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，则下面选项正确的为( )
A. 2025∈[3]
B. −2∈[2]
C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D. 整数a、b属于同一“类”的充分不必要要条件是“a−b∈[0]”
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题“∀−1≤x≤3，x2−m≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. m≥9B. m≥11C. m≥10D. m≤10
10.下列说法正确的是( )
A. a>b的一个必要条件是a−1>b
B. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=4
C. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为4
11.若x+y+z=2023，x，y，z∈R．1x+1y+1z=12023，则以下说法正确的有( )
A. (x+y)(y+z)(z+x)的最大值为827⋅20233
B. (x+2023)(y+2023)(z+2023)的最大值为2⋅20233
C. (x−2023)(y−2023)(z−2023)的最大值为0
D. xy+yz+zx恒小于0
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.命题“∀1≤x≤2，使x2−a≥0”是真命题，则a的取值范围是 ．
13.已知0
15.(本小题15分)
已知全集U={x|−6≤x≤5}，M={x|−3
(2)若C={x|a≤x≤2a−1}且C⊆(∁UM)，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，q：m−1≤a≤m+3．
(1)若命题¬p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
不等关系是数学中一种最基本的数量关系．请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同．哪种采购方案更经济，请说明理由．
18.(本小题16分)
已知函数f(x)=x2−2ax−1+a，a∈R．
(1)若a=2，试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
19.(本小题17分)
对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)，若存在x0∈R，使得mx02+nx0+t=x0成立，则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点．
(1)求二次函数y=x2−x−3的不动点；
(2)若二次函数y=2x2−(3+a)x+a−1有两个不相等的不动点x1、x2，且x1、x2>0，求x1x2+x2x1的最小值．
(3)若对任意实数b，二次函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，求a的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.B
5.D
6.D
7.D
8.C
9.BC
10.CD
11.CD
12.{a|a≤1}
13.92
14.A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
15.解：(1)因为U={x|−6≤x≤5}，N={x|0
因为M={x|−3
当C≠⌀时，因为C⊆(∁UM)，
所以a≤2a−12a−1≤−3a≥−6或a≤2a−12a−1≤5a>2，解得2
16.解：(1)命题¬p是假命题，
则p为真命题，
p：关于x的方程x2−2ax+a2+a−1=0有实数根，
则Δ=4a2−4(a2+a−1)≥0，解得a≤1，
故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
(2)q：m−1≤a≤m+3，p：a≤1，
p是q的必要不充分条件，
则m+3≤1，解得m≤−2，
故m的取值范围为{m|m≤−2}．
17.解：(1)该不等式为ab
证明：因为b>a，所以ab−m+am+b=(a−b)m(m+b)b<0，于是ab
则两次购买的平均价格为p1n+p2n2n=p1+p22，
若按第二种方案采购，每次用的钱数是m，
则两次购买的平均价格为2mmp1+mp2=21p1+1p2，
又p1+p22−21p1+1p2=(p1−p2)22(p1+p2)≥0，
所以第二种方案比较经济．
18.解：(1)依题意得y=f(x)x=x2−4x+1x=x+1x−4(x>0)，
因为x>0，所以x+1x≥2 x·1x=2，当且仅当x=1x时，即x=1时，等号成立，
所以y≥−2，
所以当x=1时，y=f(x)x的最小值为−2．
(2)因为f(x)−a=x2−2ax−1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只需“x2−2ax−1≤0在x∈[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)=x2−2ax−1，则只需g(x)≤0在[0,2]上恒成立．
因为函数g(x)的最大值为g(0)、g(2)}中的较大者，
所以g(0)≤0g(2)≤0，即0−0−1≤04−4a−1≤0，解得a≥34，
所以a的取值范围是[34,+∞).
19.解：(1)由题意知：x2−x−3=x，x2−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，
解得x1=−1，x2=3，所以不动点为−1和3．
(2)依题意，2x2−(3+a)x+a−1=x有两个不相等的正实数根，
即方程2x2−(4+a)x+a−1=0有两个不相等的正实数根，
所以，解得a>1，
所以x1x2+x2x1=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2=(x1+x2)2x1⋅x2−2=(4+a2)2a−12−2=(a+4)24a−12−2=(a−1+5)22(a−1)−2=(a−1)2+10(a−1)+252(a−1)−2=a−12+252(a−1)+3，
因为a>1，所以a−1>0，
所以a−12+252(a−1)+3≥2 a−12⋅252(a−1)+3=8，当且仅当a−12=252(a−1)，即a=6时等号成立，
所以x1x2+x2x1的最小值为8．
(3)由题知：ax2+(b+1)x+(b−1)=x(a≠0)，
所以ax2+bx+(b−1)=0，由于函数y=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)恒有不动点，
所以Δ=b2−4a(b−1)≥0，即b2−4ab+4a≥0，
又因为b是任意实数，所以Δ′=(−4a)2−16a≤0，
即a(a−1)≤0(a≠0)，解得0
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