2024-2025学年甘肃省兰州二中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州二中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={x|x>−1}，则( )
A. 0⊆AB. {0}⊆AC. {0}∈AD. ⌀∈A
2.设集合I={−2,−1,0,1,2}，A={1,2}，B={−2,−1,2}，则B∪(∁IA)等于( )
A. {1,2}B. {−2,−1}C. {−2,−1,0,2}D. {0,−1,−2}
3.集合A={63−x∈Z|x∈N∗}，用列举法可以表示为( )
A. {3,6}B. {1,2,4,5,6,9}
C. {−6,−3,−2,−1,3,6}D. {−6,−3,−2,−1,2,3,6}
4.设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是( )
A. c2>cdB. a−c>b−dC. ac>bdD. ca−db>0
5.满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合的个数是( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
6.下列说法正确的是( )
A. a>b是a2>b2的充分条件B. a>b是a2>b2的必要条件
C. a>b是ac>bc的充分条件D. a>b是a+c>b+c的充要条件
7.已知−1≤x+y≤1，1≤x−y≤3，则3x−2y的取值范围是( )
A. [2,8]B. [3,8]C. [2,7]D. [5,10]
8.若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x,y}⊆A，则xy，x+y∈A.且当x≠0时，2∈A，则称集合A是“紧密集合”.现有以下说法：
①整数集是“紧密集合”；
②实数集是“紧密集合”；
③“紧密集合”可以是有限集；
④若集合A是“紧密集合”，且x，y∈A，则x−y∈A.其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合A={0,1}，A∪B={−1,0,1,2}，则集合B可能为( )
A. {−1,0,2}B. {−1,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−3或x≥4}，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集为{x|x<−4}
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}
D. a+b+c>0
11.下列各结论中正确的是( )
A. “xy>0”是“xy>0”的充要条件
B. x2+9+1 x2+9的最小值为2
C. 若a，b∈R∗，a+b=1，则1a+1b≥4
D. 命题“∀x>1，x2−x>0”的否定是“∃x0≤1，x02−x0≤0”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.关于x的分式不等式x−2x>0的解集是______．
13.已知p：x>a，q：(1−x)(2+x)>0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．
14.若x>1，求3x+1x−1最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列不等式的解集：
(1)2x2+7x+3>0；
(2)−x2+8x−3>0．
16.(本小题15分)
如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(Ⅰ)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(Ⅱ)若使用的篱笆总长度为30m，求1x+2y的最小值．
17.(本小题15分)
已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．
(1)当a=3时，求A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，且A≠⌀，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知命题p：∀x∈R，x2+2m−3>0，命题q：∃x∈R，x2−2mx+m+2<0．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知不等式mx2−mx−1<0．
(1)当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.C
6.D
7.A
8.B
9.ABD
10.AC
11.AC
12.{x|x<0或x>2}
13.(−∞,−2]
14.2 3+3
15.解：(1)不等式2x2+7x+3>0可化为(x+3)(2x+1)>0，
解得x<−3或x>−12；
所以不等式的解集为{x|x<−3或x>−12}.
(2)不等式−x2+8x−3>0可化为x2−8x+3<0，
因为△=64−12=52，
解不等式对应的方程得x1=4− 13，x2=4+ 13，
所以不等式的解集为{x|4− 1316.解：(Ⅰ)由已知可得xy=72，而篱笆总长为x+2y．
又∵x+2y≥2 2xy=24，
当且仅当x=2y，即x=12，y=6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
(Ⅱ)由已知得x+2y=30，
又∵(1x+2y)⋅(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+2 2yx⋅2xy=9，
∴1x+2y≥310，
当且仅当x=y，即x=10，y=10时等号成立．
∴1x+2y的最小值是310．
17.解：(1)当a=3时，A={x|−1≤x≤5}，又B={x|x≤1或x≥4}，
∴A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；
(2)∵B={x|x≤1或x≥4}，∴∁RB={x|1由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，得A⫋∁RB，
又A={x|2−a≤x≤2+a}，且A≠⌀，
∴2−a≤2+a2−a>12+a<4，得0≤a<1．
∴a的取值范围是{a|0≤a<1}．
18.解：(1)若命题p为真命题，则当x∈R，x2>3−2m恒成立，则3−2m<0，得m>32，
则实数m的取值范围是{m|m>32}；
(2)若命题q为真命题，即∃x∈R，x2−2mx+m+2<0，
则Δ=(−2m)2−4(m+2)>0，即m2−m−2>0，得m<−1或m>2，
实数m的取值范围是{m|m<−1或m>2}；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，则①当p真q假时，32②当p假q真时，m<−1；
③当p，q都为真时，则m>2；
综上，m的取值范围为：(−∞,−1)∪(32,+∞)．
19.解：(1)①若m=0，则原不等式可化为−1<0，显然恒成立，
②若m≠0，则不等式mx2−mx−1<0恒成立，
等价于m<0,Δ=m2+4m<0,，解得−4综上，实数m的取值范围是{m|−4(2)①当m=0时，mx2−mx−1=−1<0，显然恒成立；
②当m>0时，函数y=mx2−mx−1的图象开口向上，
若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，
则只需x=1，x=3时的函数值均为负即可，
即m−m−1=−1<0,9m−3m−1<0,
解得m<16，此时0③当m<0时，函数y=mx2−mx−1的图象开口向下，且对称轴为直线x=12，
若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，则结合函数的大致图象知，
只需x=1时的函数值为负即可，此时m∈R，所以m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是{m|m<16}．