2024-2025学年甘肃省武威市天祝一中高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省武威市天祝一中高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列{an}中，若a3=5，a13=10，则公差d=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
2.经过点A(−1,1)，B(1−m,m)的直线斜率为 3，则实数m等于( )
A. 32B. 1C. 5− 32D. 3+ 52
3.等比数列x,3x+3,6x+6，…的第四项等于( )
A. −24B. 0C. 12D. 24
4.已知直线l1：2x+y−1=0，l2：4x−3y=0的倾斜角分别为α1，α2，则( )
A. α2<π2<α1B. α1<π2<α2C. α2<α1<π2D. α1<α2<π2
5.已知递增的等比数列{an}中，前3项的和为13，前3项的积为27，则a1的值为( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
6.已知数列{an}为等比数列，若a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项54，则数列{an}的公比q=( )
A. 12B. 2C. 14D. 4
7.已知直线l1：x−2y−2=0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为( )
A. x+y−3=0B. 4x−3y+9=0C. 3x−4y+3=0D. 2x+y−3=0
8.《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里”.在上述问题中，此马第二天所走的路程大约为( )
A. 170里B. 180里C. 185里D. 176里
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0，a4=4，则( )
A. an=4n−8B. an=2n−4C. Sn=2n2−6nD. Sn=n2−3n
10.过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是( )
A. 2x−y=0B. x+2y−5=0C. x+y−3=0D. 2x+y−4=0
11.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a12=0，则下列结论一定正确的有( )
A. a1+5a3=S7B. S12最小C. S8=S15D. S23=20
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l过点(2,1)，若l的斜率为2，则l在y轴上的截距为______．
13.若正项数列{an}满足an2=an−12+2(n∈N∗,n≥2)，且a1= 2，则a8= ______．
14.经过点P(2,7)作直线l，若直线l与连接A(1,1)，B(4,5)两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求倾斜角为直线y=− 3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(−4,1)；
(2)在y轴上的截距为−10．
16.(本小题15分)
在等比数列{an}中．
(1)已知a1=−2，a6=116，求前4项和S4；
(2)已知公比q=2，前6项和S6=189，求a1．
17.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=2，b1=1，b3=3+a2．
(1)若b2=−2a4，求数列{bn}的通项公式；
(2)若T3=13，求S3．
18.(本小题17分)
直线l过点P(43,2)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.是否存在这样的直线同时满足下列条件？
(1)△AOB的面积为6；
(2)△AOB的周长为12．
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知数列{an}中，a1=23，an>0，an≠1，且满足an+1=2anan+1．
(1)证明：数列{1an−1}为等比数列.并求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=(2n−1)(2n+1)an，求数列{bn}的前n项和Sn．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.A
5.A
6.A
7.B
8.D
9.BD
10.ACD
11.AC
12.−3
13.4
14.(−∞,−1]∪[6,+∞)
15.解：直线y=− 3x+1的斜率为− 3，则倾斜角为120°，
则由题意，所求直线的倾斜角为60°，即斜率为tan60°= 3．
(1)由点斜式方程，可得，y−1= 3(x+4)，
即为 3x−y+4 3+1=0；
(2)由斜截式方程，可得，y= 3x−10，
即为 3x−y−10=0．
16.解：(1)在等比数列{an}中，a1=−2，a6=116，
∴q5=a6a1=−132，解得q=−12，
∴前4项和S4=−2[1−(−12)4]1−(−12)=−54．
(2)∵公比q=2，前6项和S6=189，
∴S6=a1×1−261−2=189，
解得a1=3．
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由b3=3+a2，得q2=5+d，
又b2=−2a4，得q=−6d−4，
解得d=−1136q=−136(舍去)或d=−1q=2，
因此数列{bn}的通项公式为bn=2n−1；
(2)由b1=1，T3=13，得q2+q−12=0，解得q=3或−4(舍)，
当q=3时，由q2=5+d得d=4，
则S3=3×2+3×22×4=18．
18.解：设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，
因为直线l过点P(43,2)，所以43a+2b=1.①
又ab=12，②
联立①②，解得a=4b=3或a=2b=6，
当a=4，b=3时，
|OA|=4，|OB|=3，|AB|=5，C△AOB=12，符合条件(2)；
当a=2，b=6时，
|OA|=2，|OB|=6，|AB|=2 10，C△AOB=8+2 10，不符合条件(2)．
所以存在这样的直线同时满足(1)，(2)，且直线方程为x4+y3=1，
即3x+4y−12=0．
19.解：(1)证明：由an+1=2anan+1，有1an+1=an+12an，
可得1an+1=12an+12，
可化为1an+1−1=12an−12，有1an+1−1=12(1an−1)，
又由1a1−1=32−1=12，
所以数列{1an−1}是以12为首项，12为公比的等比数列，
有1an−1=12×(12)n−1，可得an=2n2n+1；
(2)由(1)可得bn=(2n−1)(2n+1)×2n2n+1=(2n−1)×2n，
有Sn=1×2+3×22+⋯+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n，
等式两边同乘2，有2Sn=1×22+3×23+⋯+(2n−3)×2n+(2n−1)×2n+1，
两式作差，有−Sn=2+2×22+2×23+⋯+2×2n−(2n−1)×2n+1，
有−Sn=−2+2×(2+22+23+⋯+2n)−(2n−1)×2n+1，
有−Sn=−2+2×2×(1−2n)1−2−(2n−1)×2n+1，
可得Sn=(2n−3)×2n+1+6．