2024-2025学年山东省淄博实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年山东省淄博实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|lg2(x+1)<2}，B={x|2x2−5x−3≤0}，则A∪B=( )
A. {x|−12C. {x|−12≤x<3}D. {x|x≤3}
2.函数f(x)=2x+2−xln( x2+1−x)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.下列说法中，正确的个数为( )
①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
③随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.8，则P(1<ξ<3)=0.3
④随机变量X服从二项分布B(4,p)，若方差D(X)=34，则P(X=1)=364
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)为角α终边上一点，若cs(α+β)=13，β∈(0,π)，则sinβ=( )
A. −4−6 215B. 4−6 215C. 4+6 215D. 6 2−415
5.2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有( )
A. 102种B. 105种C. 210种D. 288种
6.已知函数f(2x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且当x∈(0,1]时，f(x)=lg2x，则f((32)2)=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
7.设a=3103，b=ln1.03，c=e0.03−1，则下列关系正确的是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
8.若函数f(x)=(x2−2 2x+a)sin(ax−π3)(a>0)在[0,4]上有3个零点，则a的取值范围是( )
A. [7π12,5π7)B. (0,5π6)C. [π12,π3)∪[2,5π6)D. [π12,π3)∪(2,5π6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知0<α<β<π2，且3csα+ 10csβ=3，3sinα− 10sinβ=2，则( )
A. cs(α+β)= 35B. sin(α+β)=3 1010
C. tan(2α+2β)=23D. β∈(π4,π2)
10.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足当x∈[0,2]时，f(x)=2x,0≤x≤14−2x,12时，满足f(x)=mf(x−2)，m∈R(m为常数)，则下列叙述中正确的为( )
A. 当m=12时，f(3)=1
B. 当x∈[4,6]时，f(x)的解析式为f(x)=2m2(x−4),4≤x≤5−2m2(x−6),5C. 当m>1时，4mx≥mf2(x)在[0,+∞)上恒成立
D. 当011.设数列{an}满足an+1=an2−3an+4，a1=3，记数列{1an−1}的前n项和为Sn，则( )
A. an+1>anB. a2023≤32+202332
C. Sn<1D. a2023>32+(32)2023
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若(a x−b x)6(b>0)的展开式中含x的项的系数为60，则a2+b的最小值为______．
13.已知：函数f(x)是定义在R上的可导函数，当x≥0时，f′(x)>f′(−x)，若g(x)=f(x)+f(−x)，且对任意x∈[12,1]，不等式g(ax+1)≤g(x−2))恒成立，则实数a的取值范围是______．
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=−x2+ax+lnx(a∈R)．
(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在[1e,e]上有两个零点，求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)
16.(本小题15分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=an2+n2+1，n∈N∗．
(1)求a1+a2，并证明{an+an+1}是等差数列；
(2)求S2n．
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，3AB=4BC，sin∠ACB=23，DC=2．
(1)求∠DAC的大小；
(2)求△ACD的面积的最大值；
(3)若cs∠ADC= 63，求△ADC的面积．
18.(本小题17分)
第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1、p2、p3，假定p1、p2、p3互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，p1=34,p2=23,p3=12，求该小组初赛胜利的概率；
(2)已知1>p1>p2>p3，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为18，设他获得二等奖的概率为p，求p的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex−x−a(a∈R)，其中e是自然对数的底数．
(1)当a=−1时，求φ(x)=f(x)−cs2x在[0,π]上的值域；
(2)当0(3)当a≥1时，证明：sinx>xlnx−f(x)．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.C
6.A
7.C
8.D
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.2 2
13.[−2,0]
14.12
15.解：(1)当a=1时，f(x)=−x2+x+lnx，f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=−2x+1+1x=−2x2+x+1x，
令f′(x)>0，则2x2−x−1<0，解得0令f′(x)<0，则2x2−x−1>0，解得x>1．
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．
(2)令f(x)=−x2+ax+lnx=0，则a=x−lnxx．
令g(x)=x−lnxx，其中x∈[1e,e]，
则g′(x)=1−1x⋅x−lnxx2=x2+lnx−1x2．
令g′(x)>0，解得1∴g(x)的单调递减区间为[1e,1)，单调递增区间为(1,e]，
∴g(x)min=g(1)=1．
又g(1e)=e+1e,g(e)=e−1e，函数f(x)在[1e,e]上有两个零点，
∴a的取值范围是(1,e−1e]．
16.解：(1)当n=1时，S1=a1=a12+12+1，解得a1=4，
当n=2时，S2=a1+a2=a22+22+1，解得a2=2，
所以a1+a2=6；
证明：由Sn=an2+n2+1，得2Sn=an+2n2+2，则2Sn+1=an+1+2(n+1)2+2，
两式相减得2an+1=an+1−an+4n+2，则an+1+an=4n+2，
令bn=an+1+an=4n+2，则b1=6，bn+1−bn=4，
所以{an+1+an}是以6为首项，以4为公差的等差数列；
(2)当n为偶数时，Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an−1+an)=6+14+…+(4n−2)
=n22(6+4n−2)=n2+n，
则S2n=4n2+2n．
17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，
因为3AB=4BC，sin∠ACB=23，所以sin∠BAC=34×23=12，
因为AB⊥AD，所以∠BAC为锐角，可得∠BAC=π6，
所以∠DAC=π2−∠BAC=π3；
(2)在△ACD中，DC=2，
由余弦定理得DC2=4=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cs∠DAC=AC2+AD2−AC⋅AD≥AC⋅AD，
整理得AC⋅AD≤4，当且仅当AC=AD=2时取等号，
所以S△ACD=12AC⋅ADsin∠DAC≤12×4× 32= 3．
当AC=AD=2时，△ACD的面积取得最大值 3；
(3)因为cs∠ADC= 63，所以sin∠ADC= 1−( 63)= 33(舍负)．
可得sin∠ACD=sin(∠CAD+∠ADC)= 32× 63+12× 33=3 2+ 36．
在△ACD中，由正弦定理得DCsin∠DAC=ADsin∠ACD，即2 3=AD2 2+ 3，解得AD=2 6+23．
所以S△ADC=12DC⋅ADsin∠ADC=12×2×2 6+23× 33=6 2+2 39，即△ADC的面积为5 2+2 39．
18.解：(1)设事件A表示该小组获胜，
则P(A)=34+14×23+14×13×12=2324，
所以该小解组初赛胜利的概率为2324，
(2)若依次派出甲乙丙进行闯关，设派出的人员数目为X1，
则X的可能取值为1，2，3，
则P(X1=1)=p1，
P(X1=2)=(1−p1)p2，
P(X1=3)=(1−p1)(1−p2)，
此时E(X1)=p1+2(1−p1)p2+3(1−p1)(1−p2)=p1p2−2p1−p2+3，
若依次派出丙乙甲进行闯关，设派出的人员数目为X2，
则X的可能取值为1，2，3，
则P(X2=1)=p3，
P(X2=2)=(1−p3)p2，
P(X2=3)=(1−p3)(1−p2)，
此时E(X2)=p3+2(1−p3)p2+3(1−p3)(1−p2)=p2p3−2p3−p2+3，
所以
E(X1)−E(X2)=p1p2−2p1−p2+3−(p2p3−2p3−p2+3)=p1p2−2p1−p2p3+2p3
=p2(p1−p3)−2(p1−p3)=(p1−p3)(p2−2)，
因为1>p1>p2>p3，
所以p1−p3>0，p2−2<0，
所以E(X1)所以要使初赛派出人员数目的期望较小，先派出甲．
(3)由题意可得18=a2b，b=18a2，
则p=a2(1−b)+C21a(1−a)b=a2+2ab−38=a2+14a−38，
令p=f(a)=a2+14a−38,0则f′(a)=2a−14a2=8a3−14a2=(2a−1)(4a2+4a+1)4a2，
令f′(a)=0⇒a=12，
所以当0当120，f(a)为增函数，
所以f(a)min=f(12)=14+12−38=38，
所以p的最小值为38．
19.解：(1)当a=−1时，φ(x)=−ex−x+sin2x，φ′(x)=−ex−1+sin2x，
∵−1≤sin2x≤1，∴φ′(x)=−ex−1+sin2x≤−ex<0，
∴φ(x)在[0,π]上单调递减，
又φ(0)=−1，φ(π)=−eπ−π，
∴φ(x)在[0,π]上的值域为[−eπ−π,−1]．
(2)f(x)=aex−x−a(0令f′(x)=aex−1=0得x=−lna，
当x<−lna时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>−lna时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)≥f(−lna)=1+lna−a，
当a=1时，1+lna−a=0，
∴f(x)≥0，则f(x)在(−∞,+∞)上有且仅有1个零点；
当00，
∴r(a)在(0,1)上单调递增，
∴r(a)∴f(x)在(−∞,−lna)上有1个零点，又f(−2lna)=1a+2lna−a，
令μ(a)=1a+2lna−a(0∴μ(a)在(0,1)上单调递减，
∴μ(a)>μ(1)=0，
∴f(−2lna)>0，
∴f(x)在(−lna,−2lna)上有一个零点．
综上所述，a=1时，f(x)有一个零点，
0(3)证明：当a≥1，x>0时，f(x)=a(ex−1)−x≥ex−1−x，
设g(x)=ex−x−xlnx+sinx−1，
当00，
又由(2)知ex−1−x≥0，∴g(x)>0，
当x>1时，g′(x)=ex−2−lnx+csx，
设ℎ(x)=ex−2−lnx+csx，则ℎ′(x)=ex−1x−sinx,ℎ′(x)>e−1−1>0，
∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=e−2+cs1>0，
∴g′(x)>0，即g(x)在(1,+∞)单调递增，g(x)>g(1)=e−2+sin1>0，
综上，g(x)>0，即当a≥1时，f(x)>xlnx−sinx，
即sinx>xlnx−f(x)．

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