2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={y|y=2 4−x2}，B={x|y=ln(x2+2x+3)}，则A∩B=( )
A. (0,4]B. [1,4]C. [1,+∞)D. (0,+∞)
2.已知3+i是关于x的方程2x2−mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m+n=( )
A. 20B. 22C. 30D. 32
3.已知x>0，y>0，lg2x+lg4y=lg2，则1x+12y的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
4.数列{an}中，若a1=2，a2=4，an+an+1+an+2=2，则数列{an}的前2024项和S2024=( )
A. 1348B. 1350C. 1354D. 2698
5.在△ABC中，D为BC中点，CP=λCB，AQ=23AB+13AC，若AD=25AP+35AQ，则λ=( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
6.在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BB1=4BD，点M为A1C1的中点，点N在棱BB1上，若MN//平面ADC1，则NBNB1=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.已知偶函数f(x)定义域为R，且f(3x)=f(2−3x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2，则函数g(x)=|cs(πx)|−f(x)在区间[−52,12]上所有零点的和为( )
A. −7B. −6C. −3D. −2
8.已知平面向量a，b，c，满足|a|=|b|=1，且cs〈a,b〉=−12，|c−a+b|=1，则b⋅(a−c)的最小值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数f(x)=sinxcs(x+π6)+sin2x，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最大值为34
B. (π12,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C. x=5π6是函数f(x)图象的一个对称轴
D. 将函数y=12cs2x+14的图象向右平移π3个单位，即可得到函数f(x)的图象
10.在正方形ABCD中，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE位置，使得二面角A1−DE−C为直二面角，若M为线段A1C的中点，则下列结论中正确的是( )
A. 若点P在线段DE上，则|A1P|+|PC|的最小值为2 2
B. 三棱锥B−MCE的体积为 510
C. 异面直线BM、A1E所成的角为π4
D. 三棱锥A1−CDE外接球的表面积为5π
11.已知函数f(x)=−xlnxx+1，则下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)有两个零点
B. f(x)<13恒成立
C. 若方程f(x)=kx2+x有两个不等实根，则k的范围是(0,12e)
D. 直线y=−14x与函数f(x)图象有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列{an}中，Sn是其前n项和.若a1+a22=−3，S5=10，则a4= ______．
13.在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线与BC交于点D，且AD=1，BC= 6，则△ABC的面积为______．
14.已知三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA= 3，PB=2，PC= 7，∠BAC=60°，M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB1=BB1=B1C=5，AB=4，AC=6，AB⊥BC，D为AC中点．

(1)求证：B1D⊥平面ABC；
(2)求直线B1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+x2−ax．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)=f(x)+ex−2lnx，若g(x)≥0在(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2acsB=2c−b．
(1)求A；
(2)若c=2，D为BC中点，AD= 7，求b；
(3)若a=2，求△ABC内切圆半径的取值范围．
18.(本小题17分)
某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示．

(1)求a的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；
(2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在[200,250)内的天数为X，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求X的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥A−BCD中，△BCD、△ACD均是边长为2的正三角形，AB= 3，现从写有数字1～8的八个标签中随机选择两个分别贴在A、B两个顶点，记顶点A、B上的数字分别为m和n，若E为侧棱AB上一个动点，满足|AE||EB|=mn，当“二面角E−CD−A大于π4”即为中奖，求中奖的概率．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，O是AD中点，PO⊥平面ABCD，PO+AB=4．

(1)求四棱锥P−ABCD体积的最大值；
(2)设PO=2，E为线段AB上的动点．
①求平面PAD与平面PEC的夹角余弦值的取值范围；
②四棱锥P−ABCD的外接球记为球M，当E为线段AB中点时，求平面PEC截球M所得的截面面积．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.C
5.C
6.B
7.A
8.B
9.ACD
10.AC
11.BCD
12.5
13. 32
14. 72− 36− 63
15.解：(1)证明：如图，连接BD，
因为AB⊥BC，D为AC中点，所以AD=CD=BD=12AC=3，
因为AB1=B1C=5，所以B1D⊥AC，所以B1D= 52−32=4，
又BB1=5，所以BD2+B1D2=B1B2，所以B1D⊥BD，
又BD∩AC=D，BD，AC⊂平面ABC，
所以B1D⊥平面ABC；
(2)以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴，
过B作DB1的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB⊥BC，所以BC= 62−42=2 5，
则B(0,0,0),A(0,4,0),B1( 5,2,4),C(2 5,0,0)，
则BA=(0,4,0),BB1=( 5,2,4),BC=(2 5,0,0)，
设平面ABB1A1的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BA=4y=0n⋅BB1= 5x+2y+4z=0，取n=(4 5,0,−5)，
又B1C1=BC=(2 5,0,0)，
设直线B1C1与平面ABB1A1所成的角为θ，
则直线B1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值为：
sinθ=|B1C1⋅n||B1C1|⋅|n|=402 5× 80+25=4 2121．
16.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x2−ax+1x，
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>0且a2−8<0，即00，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a=2 2时，f′(x)≥0，当且仅当x= 22时，f′(x)=0，
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>2 2时，方程2x2−ax+1=0有两个不等实数根，设其根为x1，x2，x1则x1=a− a2−84，x2=a+ a2−84，
由x1+x2=a2>0，x1x2=12>0知，x1>0，x2>0，
所以当0x2时，f′(x)>0，当x1所以函数f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，
综上，当a≤2 2时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>2 2时，函数f(x)在(0,a− a2−84)上单调递增，
函数f(x)在(a− a2−84,a+ a2−84)上单调递减，
函数f(x)在(a+ a2−84,+∞)上单调递增．
(2)因为g(x)=f(x)+ex−2lnx，f(x)=lnx+x2−ax，
所以g(x)=ex−lnx+x2−ax，
不等式g(x)≥0可化为exx−lnxx+x≥a，
因为g(x)≥0在(0,+∞)恒成立，
所以(exx−lnxx+x)min≥a，
设ℎ(x)=exx−lnxx+x，
则ℎ′(x)=ex(x−1)x2−1−lnxx2+1=ex(x−1)x2+lnxx2+x2−1x2，
当x>1时，ℎ′(x)>0，当0所以函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以当x=1时，函数ℎ(x)取最小值，最小值为e+1，
故a≤e+1，
所以a的取值范围为(−∞,e+1]．
17.解：(1)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
因为2acsB=2c−b，
根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，
得2sinAcsB=2sinC−sinB⇒2sinAcsB=2sin(A+B)−sinB，
所以2sinAcsB=2sinAcsB+2csAsinB−sinB⇒2csAsinB=sinB，
因为sinB≠0，所以csA=12，
又0°所以A=60°；
(2)因为D为BC中点，所以AD=12AB+12AC，
所以|AD|2=14(|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC)，
又AD= 7，AB=c=2，A=60°，
所以7=14(4+b2+2×2⋅bcs60°)，
所以b2+2b−24=0，解得b=4或b=−6(舍去)，
故b=4；
(3)由正弦定理：bsinB=csinC=asinA=2sin60∘=4 33，
所以b=4 33sinB，c=4 33sinC，
因为A=60°，所以B+C=120°⇒C=120°−B，
所以a+b+c=4 33(sinB+sinC)+2=4 33[sinB+sin(120°−B)]+2
=4 33(32sinB+ 32csB)+2=4( 32sinB+12csB)+2
=4(cs30°sinB+sin30°csB)+2
=4sin(B+30°)+2，
2S=bcsinA=8 33sinBsinC=8 33sinBsin(120°−B)
=8 33sinB(sin120°csB−cs120°sinB)
=8 33sinB( 32csB+12sinB)=8 33( 32sinBcsB+12sin2B)
=4 33( 32sin2B+1−cs2B2)=4 33(cs30°sin2B−sin30°cs2B+12)
=4 33[sin(2B−30°)+12]
=4 33[cs(120°−2B)+12]=4 33[−cs(60°+2B)+12]
=4 33[2sin2(B+30°)−12]，
设△ABC内切圆半径为r，
则r=2Sa+b+c=4 33[2sin2(B+30°)−12]4sin(B+30°)+2= 33[2sin(B+30°)−1]，
因为△ABC为锐角三角形，所以30°所以 32所以 33(2× 32−1)即△ABC内切圆半径的取值范围是：(1− 33, 33]．
18.解：(1)根据频率分布直方图可得(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)×50=1，∴a=0.004，
∵前几组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，
∴每日汽车销售量的第60百分位数在[150,200)，且为150+0.6−−0.45×50=175(辆)；
(2)∵抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为0.45，
抽取的1天汽车销售量在[200,250)内的概率为0.2．
∴在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在[200,250)内的概率为p=0.21−0.45=411．
∴由题意可得X的值可以为0，1，2，3，
又P(X=0)=C30×(711)3=3431331，P(X=1)=C31×411×(711)2=5881331，
P(X=2)=C32×(411)2×711=3361331，P(X=3)=C33×(411)3=641331，
∴X的分布列为：
∴E(X)=3×411=1211；
(3)如图：取CD中点F，链接BF，EF，AF，CE，DE，

∵△BCD，△ACD都是边长为2的等边三角形，
∴CD⊥BF，CD⊥AF，又BF∩AF=F，
∴CD⊥平面ABF，又EF⊂平面ABF，∴CD⊥EF，
∴∠EFA为二面角E−CD−ADE的平面角，
∵在△ABF中，AB=BF=AF= 3，∴∠BFA=60°，又∠EFA=45°，
∴在△AEF中，由正弦定理可得msin45∘= 3sin75°，
∴m= 3sin45°sin75°=3− 3，此时n= 3−(3− 3)=2 3−3，mn= 3+1，
∴要想中奖，须有mn> 3+1，
∵m，n是从写有数字1～8的八个标签中随机选择的两个，∴基本事件有A82=56个，
而满足mn> 3+1的基本事件有：(8,1)，(8,2)，(7,1)，(7,2)，(6,1)，(6,2)，(5,1)，(4,1)，(3,1)，共9个，
∴中奖的概率为：956．
19.解：(1)设AB=x，则PO=4−x，
所以四棱锥P−ABCD体积V=13x2(4−x)=−13x3+43x2，0所以V′=−x2+83x，
令V′>0，则0令V′<0，则83当x=83时，V取得极大值，也是最大值，
所以四棱锥P−ABCD体积的最大值为−13×(83)3+43×(83)2=25681．
(2)①以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，C(−1,2,0)，
设E(1,t,0)，其中0≤t≤2，
则CP=(1,−2,2)，CE=(2,t−2,0)，
设平面PEC的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅CP=0m⋅CE=0，即a−2b+2c=02a+(t−2)b=0，
令b=4，则m=(4−2t,4,2+t)，
易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0)，
设平面PAD与平面PEC的夹角为θ，则θ为锐角，
所以csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=4 (4−2t)2+16+(2+t)2=4 5t2−12t+36，
因为0≤t≤2，所以5t2−12t+36∈[1445,36]，
所以csθ∈[23, 53]，
故平面PAD与平面PEC的夹角余弦值的取值范围为[23, 53]；
②由题意知，M(0,1,1)，E(1,1,0)，
则CM=(1,−1,1)，平面PCE的法向量m=(2,4,3)，
所以M点到平面PCE的距离为d=|CM⋅m||m|=2−4+3 29=1 29，
设四棱锥P−ABCD的外接球半径为R，则R=|CM|= 3，
所以平面PEC截球M所得的截面圆半径r2=R2−d2=3−129=8629，
所以平面PEC截球M所得的截面面积为πr2=86π29． X
0
1
2
3
P
3431331
5881331
3361331
641331