2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(−3,2,5)，b=(1,x,−1)，且a⊥b，则x的值为( )
A. 3B. 1C. 4D. 2
2.在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )
A. (−2,1,−4)B. (−2,−1,−4)C. (2,1,−4)D. (2,−1,4)
3.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是( )
A. 众数<中位数<平均数
B. 众数<平均数<中位数
C. 中位数<平均数<众数
D. 中位数<众数<平均数
4.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为( )
A. 38B. 39C. 40D. 41
5.已知向量a=(1,1, 2),b=(−3,2,0)，则a−b在a上的投影向量为( )
A. (34,34,3 24)B. (54,54,5 24)C. (32,32,3 22)D. (−25,35, 25)
6.在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为12，13，14，则此时灯亮的概率为( )
A. 34
B. 58
C. 12
D. 38
7.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,−1)的夹角为θ，则θ∈(0,π2]的概率是( )
A. 512B. 12C. 712D. 56
8.已知样本数据x1，x2，…，x9的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据x10，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为( )
A. 18.2B. 19.6C. 19.8D. 21.7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则( )
A. APP使用人数最多的是微信
B. 微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍
C. 微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和
D. 抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%
10.已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=15,P(A∪B)=815,P(A∪C)=920，则( )
A. P(B)=13B. P(C)=13C. P(B∪C)=712D. P(B∩C)=0
11.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角(其中M对应钟上数字3，N对应钟上数字9).设MN的中点为O，|MN|=4 3，已知长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针OC(安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细)，则下列说法正确的是( )
A. 若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OA⊥BC
B. 若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则NA//平面OBC
C. 若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为 147
D. 若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为1033π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据x1，x2，…，x20的平均数为5，则数据3+2x1，3+2x2，…，3+2x20的平均数是______．
13.已知点A(2,−1,3)，若B(1,0,0)，C(1,2,2)两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______．
14.若函数f(x)的定义域为D，对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，则称f(x)为单射函数.已知集合A={−1,−2,0,3,5}，且a∈A，b∈A，则函数g(x)=ax+bx是单射函数的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD相交于M，设AB=a、AD=b、AA1=c，
(1)用a、b、c表示B1M；
(2)若a、b、c三向量是两两成60°角的单位向量，求|B1M|．
16.(本小题15分)
某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40,100]内，将所得数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)和中位数(精确到0.1)；
(2)现从[70,80)，[80,90)，[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70,80)这组中抽取的人数．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1⊥AB，AB=3，BC=5．
(l)求证：AA1⊥BC；
(II)求二面角A1−BC1−B1的余弦值：
18.(本小题17分)
第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行.为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12，13，14，通过初赛后再通过决赛的概率均为12，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
(2)求这3人都参加市知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.求三人奖金总额为1200元的概率．
19.(本小题17分)
已知a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，c=(x3,y3,z3)，定义一种运算：(a×b)⋅c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2−x1y3z2−x2y1z3−x3y2z1，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=(1,1,0)，AD=(0,2,2)，AA1=(1,−1,1)．
(1)证明：平行六面体ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱；
(2)计算|(AB×AD)⋅AA1|，并求该平行六面体的体积，说明|(AB×AD)⋅AA1|的值与平行六面体ABCD−A1B1C1D1体积的关系．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.B
6.D
7.C
8.C
9.AD
10.ACD
11.ACD
12.13
13.3
14.825
15.解：(1)由题意得B1M=B1B+BM=−AA1+12(BA+BC)=−AA1−12AB+12AD=12b−12a−c；
(2)由(1)得B1M=12b−12a−c，
∵a,b,c三向量是两两成60°角的单位向量，
则|a|=|b|=|c|=1，且a⋅b=1×1×12=12,b⋅c=12,a⋅c=12，
∴|B1M|2=(12b−12a−c)2=(12b)2+(12a)2+c2−2×12b⋅12a+2×12a⋅c−2×12b⋅c=14+14+1−14+12−12=54，
∴|B1M|= 52．
16.解：(1)由题意知(0.005+0.010+0.025+0.035+a+0.010)×10=1，
解得a=0.015．
估计这200名员工所得分数的平均数x−=45×0.05+55×0.1+65×0.25+75×0.35+85×0.15+95×0.1=72.5．
[40,70)的频率为(0.005+0.010+0.025)×10=0.4，
[40,80)的频率为(0.005+0.010+0.025+0.035)×10=0.75，
所以中位数落在区间[70,80)，设中位数为m，所以(0.005+0.010+0.025)×10+(m−70)×0.035=0.5，
解得m≈72.9，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9．
(2)[70,80)的人数：0.035×10×200=70，[80,90)的人数：0.015×10×200=30，
[90,100]的人数：0.010×10×200=20，
所以[70,80)这组中抽取的人数为：24×7070+30+20=14．
17.
证明：(Ⅰ)∵AA1C1C是边长为4的正方形，∴AA1⊥AC，
又AA1⊥AB，AC∩AB=A，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥BC．
解：(Ⅱ)在△ABC中，有AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，
分别以AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
A1(0,0,4)，C1(0,4,4)，B(3,0,0)，A1C1=(0,4,00,A1B=(3,0,−4)，
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C1=4y=0n⋅A1B=3x−4z=0，取x=4，得n=(4,0,3)，
同理得平面BC1B1的法向量m=(4,3,0)，
设二面角A1−BC1−B1的平面角为α，
则csα=|n⋅m||n|⋅|m|=1625．
故二面角A1−BC1−B1的余弦值为1625．
18.解：(1)由题意可得：3人全通过初赛的概率为12×13×14=124，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为1−124=2324；
(2)甲参加市知识竞赛的概率为12×12=14，
乙参加市知识竞赛的概率为13×12=16，
丙参加市知识竞赛的概率为14×12=18，
所以这3人都参加市知识竞赛的概率为P=14×16×18=1192；
(3)由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件A，
则P(A)=(1−12)×13×14+12×(1−13)×14+12×13×(1−14)=14．
19.解：(1)证明：由题意AA1⋅AB=1×1+1×(−1)+0×1=0，AA1⋅AD=0×1+2×(−1)+2×1=0，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，即AA1⊥AB，AA1⊥AD，
∵AB，AD是平面ABCD内两相交直线，∴AA1⊥平面ABCD，
∴平行六面体ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱；
(2)解：|(AB×AD)⋅AA1|=1×2×1+2×1×1+0−1×(−1)×2−0−0=6，
由题意|AB|= 2，|AD|=2 2，AB⋅AD=1×0+1×2+0×2=2，cs∠BAD=AB⋅AD|AB|×|AD|=2 2×2 2=12，
所以sin∠BAD= 32，SABCD=|AB|⋅|AD|⋅sin∠BAD= 2×2 2× 32=2 3，|AA1|= 3，
∴VABCD−A1B1C1D1=SABCD×|AA1|=2 3× 3=6．
∴|(AB×AD)⋅AA1|=VABCD−A1B1C1D1，
故|(AB×AD)⋅AA1|的值表示以AB，AD，AA1为邻边的平行六面体的体积．