2024-2025学年江苏省南京市二十九中高二（上）月考数学试卷（9月份）(含答案）-自定义类型

这是一份2024-2025学年江苏省南京市二十九中高二（上）月考数学试卷（9月份）(含答案）-自定义类型，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(2−i)z=5(i是虚数单位)，z的共轭复数为z−，则z⋅z−=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
2.直线l1：ax+3y+a2−5=0，l2：x+(a−2)y+4=0，若两条直线平行，则实数a=( )
A. −1B. 1C. 3D. −1或3
3.已知圆锥的侧面积为3π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为( )
A. 3πB. 2 2C. πD. 2
4.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行.现测得下底直径AB=20 10米，上底直径CD=20 2米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为( )
A. 10米B. 20米C. 10 3米D. 10 5米
5.如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，AB=12，AC=9，∠BAC=60°，则AD⋅AE的值为( )
A. 50
B. 80
C. 86
D. 110
6.袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是( )
A. 事件A与B是互斥事件B. 事件A与B是对立事件
C. 事件C与D相互独立D. 事件C与D不是互斥事件
7.设α为锐角，若cs(α+π3)=− 33，则cs(2α+π6)的值为( )
A. 2 23B. −2 23C. −13D. 53
8.如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，直线OP⊥AB且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若OM=52MP，则椭圆的离心率为( )
A. 22
B. 12
C. 32
D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，值为12的是( )
A. 2cs215°B. sin27°cs3°+cs27°sin3°
C. 2sin15°sin75°D. tan22.5°1−tan222.5∘
10.下列说法正确的是( )
A. 直线 3x+y+1=0的倾斜角为120°
B. 经过点P(2,1)，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x−y−1=0
C. 直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是9 510
D. 直线l1：ax+2ay+1=0，l2：(a−1)x−(a+1)y−4=0，l1⊥l2，则a=−3
11.如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，AB，CD分别为上、下底面的直径，AC，BD为圆台的母线，E为弧AB的中点，则( )
A. 圆台的体积为 3π
B. 直线AC与下底面所成的角的大小为π3
C. 异面直线AC和DE所成的角的大小为π4
D. 圆台外接球的表面积为12π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，用X，Y，Z这3类不同的元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件X正常工作且Y，Z中至少有一个正常工作时，系统N正常工作.已知元件X，Y，Z正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.9，则系统N正常工作的概率是______．
13.圆C1：x2+y2−4x−5=0与圆C2：x2+y2−2y−3=0相交于A、B两点，则AB= ______．
14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”(如图1所示).会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，下顶点为A(0,−12),O为坐标原点，P为圆C上任意一点，满足|PO|=2|PA|，则点C的坐标为______；若Q为椭圆上一动点，当QC取最大值时，点Q恰好有两个，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccsB=acsB+bcsA．
(1)求角B的大小；
(2)若b= 13，3a=4c，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩整理成如图所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数；
(2)利用频率直方图的组中值求2000名师生的平均成绩；
(3)从竞赛成绩在[80,90)，[90,100]的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率．
17.(本小题15分)
已知圆C经过A(1,4)，B(5,0)两点，且在x轴上的截距之和为2．
(1)求圆C的标准方程；
(2)圆M与圆C关于直线x−y+1=0对称，求过点(3,0)且与圆M相切的直线方程．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，PA= 5，PD⊥CD，PB⊥BD，点N在棱PC上，平面PBD⊥平面ABCD．
(1)证明：AB⊥PB；
(2)若PA//平面BDN，求三棱锥N−PAD的体积；
(3)若二面角N−BD−C的平面角为π4，求PNNC．
19.(本小题17分)
已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其离心率为12，F1，F2为椭圆的左右焦点，过F1作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求△AOD面积的最大值．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.B
9.BCD
10.ACD
11.BC

13.4
14.(0,−23) ( 216,+∞)
15.解：(1)因为2ccsB=acsB+bcsA，
由正弦定理可得2sinCcsB=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC，
在△ABC中，可得sinC>0，
所以csB=12，B∈(0,π)，
可得B=π3；
(2)因为b= 13，3a=4c，则c=34a，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
即13=a2+(34a)2−2a⋅34a⋅12，
整理可得：1316a2=13，可得a=4，c=3，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×3× 32=3 3．
16.解：(1)根据频率分布直方图性质可得：10(0.01+0.01+a+0.04+a)=1，
所以a=0.02，
因为共五组，前四组的频率和0.1+0.1+0.2+0.4=0.8>0.5且最后一组的频率0.20)，
令y=0，可得x2+Dx+F=0，则x1+x2=−D=2，
将A(1,4)，B(5,0)代入可得，1+16+D+4E+F=025+5D+F=0，
解得D=−2E=0F=−15，所以圆C方程为x2+y2−2x−15=0，
即(x−1)2+y2=16．
(2)圆C的圆心C(1,0)，圆M的圆心与C(1,0)关于x−y+1=0对称，
∴设圆M的圆心为M(a,b)
则a+12−b2+1=0ba−1×1=−1，解得a=−1b=2，
圆M的标准方程为：(x+1)2+(y−2)2=16，
若过点(3,0)的直线斜率不存在，则方程为x=3，
此时圆心C(−1,2)到直线x=3的距离为3+1=4=r，满足题意；
若过点(3,0)且与圆C相切的直线斜率存在，
则设切线方程为y=k(x−3)，即kx−y−3k=0，
则圆心到直线kx−y−3k=0的距离为|−4k−2| k2+1=4，解得k=34，
所以切线方程为34x−y−94=0，即3x−4y−9=0，
综上，过点(3,0)且与圆C相切的直线方程为x=3或3x−4y−9=0．
18.解：(1)证明：因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PB⊥BD，PB⊂平面PBD，
所以PB⊥平面ABCD，
又∵AB⊂平面ABCD，
所以PB⊥AB；
(2)因为PA//平面BDN，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDN=NO(其中点O是AC，BD的交点也是中点)，

所以PA//NO，可知N为PC中点，
而PB⊥AB，AB=1，PA= 5，
所以PB=2，
因为PD⊥CD，PB⊥BD，
所以PC2=PD2+1=22+BD2+1=BD2+5，
因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PB⊥BC，
所以PC2=22+BC2，
所以BD2+1=BC2，
在三角形BCD中，CD=AB=1，∠BCD=60°，由余弦定理有BD2=BC2+1−BC，
结合BD2+1=BC2，解得BD= 3,BC=2，
VN−PAD=12VC−PAD=12VP−ACD=12×13×2×(12×2×1× 32)= 36．
(3)由题意知PB⊥平面ABCD，过点N作PB平行线交BC于点H，
所以NH⊥面ABCD，再作HK⊥BD(K为垂足)，

所以∠NKH为二面角N−BD−C的平面角，∠NKH=π4，
由(2)可知BC=PB=2，所以三角形PBC是等腰直角三角形，
同理三角形NHC也是等腰直角三角形，
从而PC=2 2，
在三角形BCD中，BD2+CD2=( 3)2+12=4=BC2，
所以∠BDC=90°，
而∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，
不妨设CH=NH=x=KH，NC= 2x，
则BH=2−x且BH=2KH，所以x=23=NH，
所以PNNC=2 2− 2x 2x=2．
19.解：(1)由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
所以△ABF2的周长为4a=8，解得a=2，
又ca=12，解得c=1，故b2=a2−c2=4−1=3，
所以椭圆方程为x24+y23=1；
(2)①由题意得F1(−1,0)，设直线AB：x=my−1，m≠0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1>0，y2