2024-2025学年江苏省徐州三中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州三中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
2.已知双曲线x2a2−y2=1a>0的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. y=± 5xB. y=± 55xC. y=± 3xD. y=± 33x
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. 12B. 32C. 34D. 64
4.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且PM=4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( )
A. 33B. 32C. 3D. 2 3
5.y=kx+1与椭圆x25+y2m=1恰有公共点，则m的范围( )
A. (0,1)B. (0,5 )C. [1,5)∪(5,+∞)D. (1,+∞)
6.已知圆C1：x2+y2−mx−3=0平分圆C2：(x−1)2+(y−2)2=4的周长，则m=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 3+12D. 5+12
8.已知点P是直线l：3x+4y−7=0上的动点，过点P引圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为π3时，则r的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C：x24−y29=1，给出以下4个命题，真命题的是( )
A. 直线y=32x+1与双曲线有两个交点
B. 双曲线C与y29−x24=1有相同的渐近线
C. 双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D. 双曲线的焦点坐标为(−13,0)，(13,0)
10.下列结论正确的是( )
A. 已知点P(x,y)在圆C：(x−1)2+(y−1)2=2上，则y+2x的值可能是43
B. 已知直线kx−y−k−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为−12≤k≤32
C. 已知点P(a,b)是圆x2+y2=r2(r>0)外一点，直线l的方程是ax+by=r2，则l与圆相交
D. 若圆M：(x−4)2+(y−4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N(1,0)的距离为1，则r的取值范围是(4,6)
11.已知椭圆C：x2m+y2m−4=1(m>4)的焦点为F，点A(−2,2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则m的值可以为( )
A. 6+2 5B. 6+4 5C. 24D. 25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以双曲线x216−y29=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______．
13.数学月考出了这样一道题：设A，B为椭圆x216+y29=1上的两个动点，若直线4x+3y−m=0上存在点P，使得∠APB为直角，求实数m的取值范围.小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆.小峰顿悟，于是写出了答案：______．
14.如图，椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
16.(本小题15分)
已知双曲线x2−y23=1，且双曲线上存在关于直线l：y=kx+4的对称的两点AB，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)若抛物线C与直线y=kx−2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
18.(本小题15分)
设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，A (0,2)，B (2,0)，且OA+OB= 62OP．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E、F，求三角形OEF的面积．
19.(本小题17分)
如图，已知圆O：x2+y2=1和点A(2,1)，由圆O外一点P向圆O引切线PQ，切点为Q，且有|PQ|=|PA|．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若以点P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求出其中半径最小的圆P的方程；
(3)求|PO|−|PQ|的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.C
6.C
7.D
8.D
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.y2=16x
13.[−25,25]
14.(−1+ 52,1)
15.解：设PF1的中点为M，连接F2M.

由|PF2|=|F1F2|，故F 2M⊥PF，即F2M=2a．
在Rt△F1F2M中，|F1M|= (2c)2−(2a)2=2b，故|PF1|=4b．
根据双曲线的定义有4b−2c=2a，即2b−a=c，即(2b−a)2=a2+b2，即3b2−4ab=0，即3b=4a，故双曲线的渐近线方程是y=±bax=±43x，即4x±3y=0．
16.解：假设双曲线上存在关于直线l：y=kx+4的对称的两点A，B．
当k=0时，不满足条件，舍去；
当k≠0时，直线AB的方程为y=−1kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0).
联立x2−y23=1y=−1kx+m，化为(3k2−1)x2+2mkx−(m2k2+3k2)=0，(k2≠13)．
Δ=4m2k2+4(3k2−1)(m2k2+3k2)>0，
化为m2k2+3k2>1.(∗)
x1+x2=−2mk3k2−1=2x0，
∴x0=−mk3k2−1，y0=1k×mk3k2−1+m=3mk23k2−1，
代入直线l：y=kx+4，可得3mk23k2−1=−mk23k2−1+4，
化为m=3k2−1k2，代入(∗)可得k2[(3k2−1k2)2+3]>1，
整理为12k4−7k2+1>0，
解得k2>13或k2<14.(k≠0)．
解得k> 33，或k<− 33，或−12综上可得：k的取值范围是k> 33，或k<− 33，或−1217.解：(Ⅰ)由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0)，其准线方程为x=−p2，
∵P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，
∴4+p2=6 ，∴p=4，
∴抛物线C的方程为y2=8x；
(Ⅱ)由y2=8xy=kx−2消去y，得 k2x2−(4k+8)x+4=0
∵直线y=kx−2与抛物线相交于不同两点A、B，
则有k≠0，Δ=64(k+1)>0，解得k>−1且k≠0，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
又x1+x22=2k+4k2=2，
解得 k=2，或k=−1(舍去)
∴k的值为2．
18.解：(1)由题意知，b=2，设P(x,y)，
由OA+OB= 62OP，得(2,2)= 62(x,y)，则x=4 6y=4 6，
将点P代入椭圆方程x2a2+y24=1，可得166a2+1624=1，即a2=8．
∴椭圆方程为x28+y24=1；
(2)c= a2−b2=2．
∴直线l的方程为y=x−2，代入椭圆方程x28+y24=1，
整理得：3x2−8x=0，则x=0或x=83．
∴交点坐标为(0,−2)和(83,23)，
∴|EF|= (83)2+(23+2)2=83 2，
点O到直线l的距离d=|−2| 2= 2．
∴S△OEF=12× 2×83 2=83．
19.解(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，
又|PQ|=|PA|，
所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2，
所以x2+y2=1+(x−2)2+(y−1)2，
故2x+y−3=0；
(2)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，
而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，
所以r=3 55−1，
又l′：x−2y=0，联立l：2x+y−3=0得P0(65,35)，
所以所求圆的方程为(x−65)2+(y−35)2=(3 55−1)2；
(3)设O关于直线l：2x+y−3=0的对称点为O′(m,n)，
则nm×(−2)=−12×m2+n2−3=0，
解答m=125，n=65，即O′(125,65)，
所以||PO|−|PQ||=||PO′|−|PA||≤|AO′|= 55，当P，A，O′三点共线时，取等号，
故|PO|−|PQ|的最大值为 55．