2024-2025学年上海市普陀区晋元高级中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年上海市普陀区晋元高级中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话是来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的( )
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合A={x||x−1|>2}，集合B={x|mx+1<0}，若A∪B=A，则m的取值范围是( )
A. [−13,0]B. [−13,1]C. [0,1]D. [−13,0)∪(0,1]
3.已知 5b−c5a=1(a,b,c∈R)，则关于x的方程ax2+bx+c=0( )
A. 一定有不相等的两个实数根B. 一定有两个相等的实数根
C. 可能有两个相等的实数根D. 没有实数根
4.设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出以下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=−12，则14≤l≤1；③若l=12，则− 22≤m≤0.其中正确的命题个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 0
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合{x|2x2−3x+2=0,x∈R}= ______．
6.已知集合A={x|−27.设全集U={1,2,a}，A={1}，A−={2,a2+2a−2}，则实数a= ______．
8.已知1x>1，则x的范围为______．
9.关于x的一元二次不等式x2+(k−1)x+4≥0在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是______．
10.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(−12,13)，则a−b= ______．
11.若非空集合M={x|x2−2x+m=0,x∈R}不是单元素集，则其中所有元素之和S= ______．
12.若正实数a、b的几何平均值为4 2，则2a与b的算术平均值的最小值为______．
13.已知[a,5a−2]为一个确定区间，且A=[12,3]，B={x|x2+a<0}，若A−∩B=B，则a的取值范围为______
14.关于x的不等式|x−a|+|x−2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是______．
15.要使满足关于x的不等式2x2−9x+a<0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式x2−4x+3<0和x2−6x+8<0中的一个，则实数a的取值范围是______．
16.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，B={a12,a22,a32,a42,a52}，其中a1、a2、a3、a4、a5是五个不同的正整数，且a1三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知集合A={x||x−a|<2},B={x|x−2x+1<0}．
(1)若a=2，求A∩B；
(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题14分)
已知集合A={x|x2+x−2=0,x∈R}，集合B={x|x2+px+p=0,x∈R}．
(1)若A∩B={1}，求A∪B；
(2)若x1，x2∈B且x12+x22=3，求p的值．
19.(本小题14分)
(1)已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i=1,2,…,n)满足a1+a2+…+an=a1×a2×…×an，就称A为“完美集”；若a1，a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”；求证：a1，a2至少有一个大于2；
(2)对于问题：“已知正数x，y满足x+3y=1，求1x+1y的最小值”；同学小明有如下解法：因为x，y∈R+，x+3y≥2 x⋅3y=2 3⋅ xy；所以 xy≤12 3，即1 xy≥2 3；由1x+1y≥2 1x⋅1y≥4 3，得所求最小值为4 3；试判断上述解法是否正确；若不正确，请指出错误之处，并加以改正．
20.(本小题18分)
已知关于x的不等式(k2−2k−3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R)的解集为M；
(1)若M=R，求k的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数a、b，使得M=(−∞,a)∪(b,+∞)，求实数k的取值范围；
(3)是否存在实数k，满足：“对于任意n∈N∗，都有n∈M；对于任意的m∈Z−，都有m∉M”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
21.(本小题18分)
已知y1=m(x−2m)(x+m+3)，y2=x−1．
(1)若m=1，解关于x的不等式组y1>0y2<0；
(2)若对任意x∈R，都有y1<0或y2<0成立，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，存在x<−4，使得y1y2<0，求m的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.C
5.⌀
6.{−1,1}
7.−2
8.(0,1)
9.[−3,5]
10.−10
11.2
12.8
13.(12,+∞)
14.(−∞,1]
15.[7,818)
16.A={1,3,4,9,11}或A={1,3,6,9,10}．
17.解：(1)A={x||x−a|<2}={x|a−2若a=2时，则A={x|0则A∩B={x|0(2)“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，
则B⫋A，
a−2≤−12≤2+a，则0≤a≤1，
则a的取值为[0,1]．
18.解：A={x|x2+x−2=0,x∈R}={−2,1}．
(1)若A∩B={1}，则1∈B，
而集合B={x|x2+px+p=0,x∈R}，
则1+p+p=0，解得：p=−12，
故B={x|x2−12x−12=0}={−12,1}，
故A∪B={−2,−12,1}；
(2)因为x1，x2∈B，所以x1，x2为方程x2+px+p=0的根，
若x1=x2，则方程x2+px+p=0只有一个根，
Δ=p2−4p=0，解得p=0或4，
所以方程x2+px+p=0，即为方程x2=0或方程x2+4x+4=0，
解得x=0或x=−2，都不满足x12+x22=3，不符合题意；
若x1≠x2，则x1，x2为方程x2+px+p=0的两个不等的根，
则x1+x2=−p,x1x2=p，
由x12+x22=3，可得x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=p2−2p=3，
解得：p=3或p=−1，
又Δ=p2−4p>0，所以p<0或p>4，故p=−1;
综上p的值为−1．
19.解：(1)证明：若a1=2、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，
设a1+a2=a1⋅a2=t>0，
根据根和系数的关系知，a1=2和a2相当于x2−tx+t=0的两根，
由Δ=t2−4t>0，解得t>4或t<0(舍去)，
所以a1⋅a2>4，又a1=2，a2均为正数，
所以a1=2、a2至少有一个大于2．
(2)因为x>0，y>0，
则x+3y≥2 3xy，当且仅当x=12,y=16时，等号成立，
1x+1y≥2 1x⋅1y=2 xy≥4 3，当且仅当x=y=14时，等号成立，
两者等号成立条件不一致，所以解析错误，
正解：因为x，y∈R+，x+3y=1，
则1x+1y=(x+3y)(1x+1y)=4+3yx+xy≥4+2 3yx⋅xy=4+2 3，
当且仅当3yx=xy，即x= 3−12，y=12− 36时，等号成立，
所以1x+1y的最小值为4+2 3．
20.解：(1)当k2−2k−3=0时，解得k=3，或k=−1，
当k=−1时，不等式化为1>0，∴k=−1时，解集为R，
当k=3时，不等式化为4x+1>0，对任意实数x不等式不成立，
当M=R时，k2−2k−3>0(k+1)2−4(k2−2k−3)<0，
解得：k∈(−∞,−1)∪(133,+∞)；
综上，k的取值范围是k∈(−∞,−1]∪(133，+∞)；
(2)若存在两个不相等负实数 a、b，使得 M=(−∞,a )∪(b，+∞)，
则k2−2k−3>0(k+1)2−4(k2−2k−3)>0−k+1k2−2k−3<0，
解得：k∈(3,133)；
(3)根据题意，得出解集M=(t,+∞)，t∈[−1,1)；
当k2−2k−3=0时，解得k=3，或k=−1，
k=3时，不等式的解集为(−14,+∞)，满足条件；
k=−1时，1>0恒成立，不满足条件；
当k2−2k−3>0时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(t,+∞)的形式，不满足条件；
当k2−2k−3<0时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(t,+∞)的形式，不满足条件；
综上，满足条件k的值为3．
21.解：(1)(1)当m=1时，y1=(x−2)(x+4)>0，则x<−4或x>2，
y2=x−1<0，则x<1，
所以不等式组y1>0y2<0的解集为{x|x<−4}．
(2)当x<1时，y2<0，因此x≥1时，y1<0恒成立，
当m>0时，2m>−m−3，y1<0的解为−m−3当m=0时，y1=0不满足题意，
当m<0时，由2m=−m−3得m=−1，y1<0化为(x−2m)(x+m+3)>0，
若−1≤m<0，2m≥−m−3，不等式y1<0解为x<−m−3或x>2m，2m<1满足题意，
若m<−1，2m<−m−3，不等式y1<0的解为x<2m或x>−m−3，因此−m−3<1，m>−4，则−4综上，m的取值范围是{m|−4(3)当x<−4时，y2=x−1<−4<0，因此存在x<−4使得y1=m(x−2m)(x+m+3)>0，
又−4因此(x−2m)(x+m+3)<0在x<−4时有解，
所以2m<−4或−m−3<−4，即m<−2或m>1，
综上，m的取值范围是{m|−4