山东省济宁市兖州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷(解析版)

这是一份山东省济宁市兖州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因复数，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】易知，则其最小正周期为.
故选：C.
3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，
所以该平面图形的高为.
故选：C.
4. 我们学过的度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设角所在的扇形的半径为，则扇形面积，
由题意，面度数为，所以，
所以.
故选：C.
5. 如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设原圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为，
新几何体的表面积，
故，故圆柱侧面积为.
故选：A.
6. 已知向量满足，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】因为，且，
所以，即，即，所以，
所以.
故选：B.
7. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设的中点为A，
则，
所以.
故选：D.
8. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的面积，，
，则，
，，
，，，，
，．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的虚部为2D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，因为，所以，
所以的虚部为，C错误；
对于D，因为，所以，
又，所以，D正确.
故选：ABD.
10. 软木锅垫的正、反面可加置印刷公司lg、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏．如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ）
A. 向量在向量上的投影向量为
B.
C.
D. 点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为
【答案】ABD
【解析】以A为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，
对于A，由图可知，
所以，
向量在向量上的投影向量为，故A正确；
对于B，由图可知，
所以，，，
所以，故B正确；
对于C，，，
，故C错误；
对于D，设，则，所以，
因为点是正六边形内部（包括边界）的动点，所以，
所以当时，有最小值，最小值为-200，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在区间上的最大值为2
D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【解析】观察函数图象，，函数的周期为，，
由，得，而，
则，，
对于A，函数的周期为，A正确；
对于B，，函数的图象关于不对称，B错误；
对于C，当时，，当，
即时，取得最大值2，C正确；
对于D，当时，，由，即，
得或，解得或，显然，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为______．
【答案】
【解析】设左侧几何体的体积为，长方体的体积为，
右侧三棱柱的体积为，则.
故答案为：.
13. 已知向量，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，所以不共线，
若共线，则，即，所以时不共线.
故答案为：.
14. 已知向量，若，则______.
【答案】
【解析】因为向量，，
所以，所以，
所以，
所以
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
（1）求的值；
（2）记复数，求复数的模．
解：（1）解法一：由题意得：，
即，
所以，
所以，，
解得：，即；
解法二：由已知得，这个方程的另一个根是，再用韦达定理可知：
，解得：，所以.
（2），，则，
所以.
16 已知单位向量满足.
（1）求的值；
（2）设与夹角为，求的值.
解：（1）因为为单位向量，所以，
所以，得到，
则，
则.
（2）因为，所以，
而，
所以，
即.
17. 兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，其中，.
（1）求兴隆塔的高的长；
（2）在（1）的条件下求多面体的表面积；
（3）在（1）的条件下求多面体的内切球的半径.
解：（1）设米，在中，，则，
在中，，且，
则，所以，
因为，所以由余弦定理得：，
整理得：，解得(米).
（2）由（1）知均为直角三角形，
，，所以，
所以在中，满足，所以为直角三角形；
所以，
所以平方米.
（3）设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换：
，
所以米.
18. 已知向量，函数．
（1）求函数在上的单调递减区间；
（2）若，且，求的值；
（3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
解：（1）因为
，
所以即，
又因为，所以函数在上的单调递减区间为.
（2）若，则，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
故.
（3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，
再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象，
即：
，
则，
当时，，
由方程有一解，可得的取值范围为．
19. 在中，，，对应的边分别为，，，
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；
解：（1）因为，
所以，
由正弦定理，
所以，
即：，所以.
（2）（方法一）因为，所以，
所以，
所以
，及.
（方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
则，
则：，
所以.
（3）根据柯西不等式：
，当且仅当为正三角形时取等号，
即：的最小值为48.