湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试(五)数学试卷(解析版)

这是一份湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试(五)数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 数据20，24，6，7，13，14的第60百分位数是（ ）
A. 6B. 7C. 13D. 14
【答案】D
【解析】数据从小到大排序为6，7，13，14，20，24，
又，所以第60百分位数应为第4个数14．
故选：D．
2. 若集合．集合，则的真子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 31D. 32
【答案】A
【解析】由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
，
所以，故的真子集个数为．
故选：A．
3. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，
其中，，，
原平面图形的面积为.
故选：D．
4. 已知函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 52B. 54C. 56D. 58
【答案】C
【解析】由等差数列的前项和为，可得也是等差数列，
又，，所以的公差为1，
所以，所以，所以.
故选：C.
6. 椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得，设，，
则，
又，则，，
则，．故选：B.
7. 在平面直角坐标系中，已知圆，若正三角形一边为圆的一条弦，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】如图，设，则，
因为，所以，
因为是正三角形，所以
易知取最大值时，点与点在线段的异侧，
此时，，
在中，由余弦定理得
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时有最大值为2.
故选：D．
8. 向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】作，，，
因为不等式恒成立，则，即，
从而有，故.
设，，
则.
作点E关于直线OB的对称点F，，
则，
故选：C.
二、选择题
9. 已知，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C.
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A．若复数，，满足，但这两个虚数不能比大小，选项错误；
对于B．若，，则有，但，B选项错误；
对于C．设，，
则
所以，C选项正确；
对于D．令、，则，，
所以，但是，D选项错误．
故选：ABD．
10. 已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 是奇函数B. 关于点对称
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，由为奇函数，则，
即，
即得为常数，令，即得，则，
故，即，则，
结合，可得，故，
故，即是奇函数，A正确；
对于B：由为奇函数，则，则
即的图象关于点对称，
结合是R上的奇函数，故，如果关于点对称，则，
而，矛盾，故B错误；
对于C，由为奇函数，则，
故为常数，令，则，
则，C错误；
对于D:由于，故，即，
故4是的一个周期．
是R上的奇函数，故，，结合得，
，，
故，故D正确．故选：AD．
11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为16
【答案】BCD
【解析】显然当直线斜率不存在时不合题意，则设直线，与联立得．
设，，则，，，．
，
因此，A选项错误．
，B选项正确．
,，切线，即，
同理，联立解得，故．
不妨设，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，
则．
当直线PN与抛物线相切时，最小．
与联立，消去y得：，
令，解得，则，
故，C选项正确．
，故，
则，D选项正确．
故选:BCD．
三、填空题
12. 甲、乙两同学玩掷股子游戏，规则如下：
（1）甲、乙各抛掷质地均匀的殿子一次，甲得到的点数为，乙得到的点数为；
（2）若的值能使二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则甲胜，否则乙胜．那么甲胜的概率为______．
【答案】
【解析】由题意得，，记每个基本事件为，
甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，共有个基本事件，其中的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
当时，共有7项，其中只有第4项的二项式系数最大，
当为其他值时，均不满足只有第4项的二项式系数最大，
当时，共有，，，，5个基本事件满足要求，所以甲胜的概率为．
故答案为：
13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则______．
【答案】
【解析】由基本不等式，，则，又，故，
即基本不等式必须取等，，，．故答案为：
14. 关于x的方程有实根，则的最小值为______．
【答案】
【解析】设方程的实根为，则，点是直线上任意一点，
．设，，，
在单调递减，
在单调递增，从而，的最小值为．
故答案为：
四、解答题
15. 函数．
（1）当时，证明：；
（2）讨论函数的零点个数．
（1）证明：当时，，所以，令得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．从而，不等式得证．
（2）解：令，则，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
又，当时，；当时，．
从而当时，无零点；当或时，有一个零点；
当时，有两个零点．
16. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：平面PBC；
（2）直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；
（3）点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
（1）证明：∵E，F分别为PA，PC的中点，∴．
又平面，平面，∴平面ABC．
又平面BEF，平面平面，∴．
平面平面．
又，，平面，
∴平面，从而平面；
（2）解：，
由（1）得，
从而，
从而四边形ABCD为矩形．由于平面ABC，
从而．
（3）解：以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，，
由于，设，则．
，
，
设平面BEF的一个法向量，则，取
由题意，，
即，
解得，
从而符合题意的点存在，．
17. 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
（1）求，，；
（2）设，，求数列的前项和；
（3）设，，数列的前项和为，证明：，
（1）解：1到6中与6互质的只有1和5，所以；
1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以；
1到中，所有奇数都与互质，所以．
（2）解：，从而．
（3）证明：，
从而，
证毕．
18. 平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
（1）求轨迹C的方程；
（2）求面积的取值范围；
（3）若直线l与直线交于点M，过点M作y轴垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
（1）解：由题意可知：动点到定点的距离比到定点的距离大，且，
从而点的轨迹为双曲线的右支．
设双曲线方程为，
则，，，
轨迹C的方程为：．
（2）解：直线l不与y轴垂直，设其方程为，
与联立得：，，
设，，则，，解得．
设，则．
由于在单调递减，则，故．
（3）证明：与联立，得，．
设，，由A，S，N三点共线，得，
解得，同理有．
，
即ST的中点为，故为定值1．
19. 某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．
（1）要使的值最大，求n的值；
（2）已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．
解：（1），由题意有，
解得，
由于为整数，故．
（2）①证法1：设的分布列为，
其中，，记，则对任意，
．
证法2：由马尔科夫不等式，得．
②，则，．
由题意，，即，，也即．
由切比雪夫不等式，有，
从而，，估计的最小值为45．