甘肃省靖远县第二中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

这是一份甘肃省靖远县第二中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了本卷侧重，本卷怎么考，本卷典型情境题，本卷测试范围，在等比数列中，，，则，函数的图象大致为，对于二项式，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷侧重：高考评价体系之综合性．
2．本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题18）；②考查不同层面之间、纵向的融会贯通的综合能力（题11）．
3．本卷典型情境题：题3、16．
4．本卷测试范围：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．若抛物线（）的焦点到准线的距离为2，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（若随机变量，则，，）（ ）
A．191B．137C．159D．164
4．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．在等比数列中，，，则（ ）
A．3B．4C．D．
6．如图所示，是棱长为3的正方体，M，N分别是下底面的棱，的中点，P是上底面的棱上的一点，，过点P，M，N的平面交上底面于，点Q在上，则（ ）
A．B．C．D．2
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．在平面直角坐标系中，设，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的两支分别交于点A，B，若为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．对于二项式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为B．展开式中的常数项为
C．展开式中的有理项有3项D．展开式中的有理项有4项
10．若（），则（ ）
A．z有可能为实数B．z不可能为纯虚数
C．的最小值为D．若，则
11．某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为M，其中最大的数字为E（），且在内的每一个整数均出现在该组数字中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a（），数字a的个数是所有不小于a的数字的个数的10%．现在从这组数字中任取一个数字，记“数字为n”为事件，“数字不小于n”为事件，其中，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，且，则________．
13．函数，若“”是“取得最大值”的充分条件，则________．
14．已知，，则的最大值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求函数的极值．
（2）若关于x的方程有两个不同的解，求a的取值范围．
16．（15分）
2024年6月4日，“嫦娥六号”携带月球样品，自月球背面起飞，完成世界首次月球背面采样和起飞．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，现从该校高三学生中随机抽取100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图，这是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥六号”的部分）．
附：
，其中．
（1）完成上面的列联表，并计算回答根据小概率值的独立性检验，分析“性别是否影响学生对‘嫦娥六号’的关注程度”；
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人，记被抽取的3名女生中对“嫦娥六号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
17．（15分）
如图，在直三棱柱中，D是的中点，，．
（1）证明：平面．
（2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（17分）
已知椭圆的离心率为，P是直线上的一动点，点Q在椭圆C上．
（1）求n的值．
（2）若的最小值小于，且直线，的斜率之积为，O为坐标原点，请问平面内是否存在定点T，满足恒成立？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（17分）
在平面直角坐标系中，利用公式，其中a，b，c，d为常数 ①，将点的坐标变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．
（1）在平面直角坐标系中，将点绕原点O按逆时针方向旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O按逆时针方向旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量（行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设A是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
高考模拟卷·数学
参考答案
1．答案 B
解题分析 由题意，．
2．答案 A
解题分析 由题意知，故该抛物线的焦点坐标为．
3．答案 D
解题分析 由题可知，，
．
故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是．
4．答案 C
解题分析 由，知，又，故所求切线方程为，即．
5．答案 D
解题分析 因为，，所以．
因为，所以．
6．答案 C
解题分析 ∵平面，平面平面，平面，
∴，易知，
故．
7．答案 A
解题分析 函数，其中，且，由定义域可以排除B．该函数为奇函数，所以C错误．，所以A正确．
8．答案 D
解题分析 不妨设点A在双曲线的右支上，则，
又∵，
则，∴，，，，
∴，∴，
即，由，知．
9．答案 AD
解题分析 的展开式的第项，常数项为，有理项有4项．
10．答案 BCD
解题分析 由题意知，，其中．若z为实数，则，不合题意，故A不正确；若z为纯虚数，则，不合题意，即z不可能为纯虚数，故B正确；当时，取得最小值，且最小值为，故C正确；若，则，即（负值已舍去），故D正确．
11．答案 BC
解题分析 设正整数的个数为，
由题意，，
则 ①，
②，
得，
即，故，故A错误；
由，
故，故B正确；
由题意知，故，故C正确；
当时，，故D不正确．
12．答案
解题分析 由，知，解得．
13．答案
解题分析 ，其中，，由题意知，则，此时．
14．答案
解题分析 ，设，
所以原式．
令，所以．又函数在上单调递增，
所以原式．
15．答案 （1）．
当时，，为减函数；当和时，，为增函数．
故函数的极大值为，极小值为．
（2）由，可知，又由题意知函数的定义域为，故方程在上有两个不相等的根，则有即．
16．解题分析 （1）完成列联表如下：
零假设为：性别与关注度之间无关联．，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“性别会影响学生对‘嫦娥六号’的关注程度．”
（2）因为随机选一个高三的女生，她对此事关注的概率为，
而，所以随机变量X的分布列为
故．
17．解题分析 （1）如图1，记与的交点为O，连接，
因为三棱柱是直三棱柱，
所以．
因为，所以四边形是正方形，故．
因为，，所以．
又因为是的中点，所以，
所以．
因为四边形是正方形，所以O是的中点，
所以．
又因为，平面，，
所以平面．
（2）因为，，所以．
如图2，以C为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则即解得取，
得．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18．解题分析 （1）若椭圆C的焦点在x轴上，由题意知，解得；若椭圆C的焦点在y轴上，由题意知，解得．
（2）当椭圆C的焦点在x轴上时，的最小值为，当椭圆C的焦点在y轴上时，的最小值为（不合题意），故椭圆C的方程为．
设，，则，，因为直线，的斜率之积为，
所以，所以。根据对称性可知定点T若存在，则一定在x轴上，
设，则，，
因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立．因为，所以，
所以恒成立，所以恒成立，
所以，即存在定点，满足恒成立．
19．解题分析 （1）由题可求得，设，则，，
设点，，
故，
，
所以．
（2）设，，则，，，
故，
，
所以坐标变换公式为
该变换所对应的二阶矩阵为．
（3）设矩阵，向量，，则．
，
对应变换公式为
，，
所以，
故对应变换公式同样为所以．
性别
关注度
合计
关注
没关注
男
女
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
C
D
C
A
D
AD
BCD
BC
性别
关注度
合计
关注
没关注
男
30
30
60
女
12
28
40
合计
42
58
100
X
0
1
2
3
P