新高考数学考前考点冲刺精练卷48《双曲线》（2份，原卷版+教师版）

这是一份新高考数学考前考点冲刺精练卷48《双曲线》（2份，原卷版+教师版），文件包含新高考数学考前考点冲刺精练卷48《双曲线》教师版pdf、新高考数学考前考点冲刺精练卷48《双曲线》教师版doc、新高考数学考前考点冲刺精练卷48《双曲线》原卷版doc、新高考数学考前考点冲刺精练卷48《双曲线》原卷版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

一、选择题
已知定点F1(﹣2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
【答案解析】答案为：B
解析：如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|﹣|PF1||＝||PF2|﹣|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x﹣3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x2﹣eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,8)﹣y2＝1 C.x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1) D.x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
【答案解析】答案为：C
解析：设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|﹣|MC1|＝2＜6，所以点M的轨迹是以点C1(﹣3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2﹣a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1).
已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq \r(2)，则双曲线C的实轴长为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
【答案解析】答案为：B
解析：由题意知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，|F1F2|＝2c＝2eq \r(3)a，所以cs∠F1PF2＝eq \f(9a2＋a2－12a2,2·3a·a)＝eq \f(－2a2,6a2)＝﹣eq \f(1,3)，sin∠F1PF2＝eq \f(2\r(2),3)，所以S＝eq \f(1,2)·a·3a·eq \f(2\r(2),3)＝eq \r(2)a2＝eq \r(2)，所以a＝1，实轴长2a＝2.
双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A.x2﹣eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣y2＝1 C.x2﹣eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)﹣y2＝1
【答案解析】答案为：A
解析：∵e＝eq \f(c,a)＝2，则c＝2a，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)a，则双曲线的方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,3a2)＝1，将点(eq \r(2)，eq \r(3))的坐标代入双曲线的方程可得eq \f(2,a2)﹣eq \f(3,3a2)＝eq \f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq \r(3)，因此，双曲线的方程为x2﹣eq \f(y2,3)＝1.
已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1 D.x2﹣eq \f(y2,2)＝1
【答案解析】答案为：D
解析：由题意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，由双曲线的定义可得eq \f(4\r(3)c,3)﹣eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2﹣eq \f(y2,2)＝1.
已知双曲线eq \f(x2,m＋1)﹣eq \f(y2,m)＝1(m＞0)的渐近线方程为x±eq \r(3)y＝0，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)﹣1 C.eq \f(\r(3)＋1,2) D.2
【答案解析】答案为：A
解析：由渐近线方程y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(3),3)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，则eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即eq \f(m,m＋1)＝eq \f(1,3)，m＝eq \f(1,2).
若双曲线E：eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
【答案解析】答案为：B
解析：方法一 依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|﹣|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.
方法二 根据双曲线的定义，得||PF2|﹣|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|﹣3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝﹣3(舍去).
已知双曲线E：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C.eq \r(7) D.7
【答案解析】答案为：C
解析：点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由双曲线定义得|AF2|﹣|AF1|＝2m﹣m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2﹣2|AF1||AF2|cs 120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝2eq \r(7)a，又|F1F2|＝2c，∴2eq \r(7)a＝2c，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7).
设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
【答案解析】答案为：A
解析：令双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F的坐标为(c，0)，则c＝eq \r(a2＋b2).
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，
且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得(eq \f(c,2))2＋(eq \f(c,2))2＝a2，∴eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即离心率e＝eq \r(2).
已知双曲线C: eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.(1，eq \f(3,2)) B.(1，eq \f(\r(13),2)) C.(eq \f(3,2)，eq \f(\r(13),2)) D.(1，eq \r(13))
【答案解析】答案为：B
解析：由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝eq \f(b,2)x，即bx﹣2y＝0，又该圆的圆心为(c，0)，
故圆心到渐近线的距离为eq \f(bc,\r(b2＋4))，则由题意可得eq \f(bc,\r(b2＋4))＜3，即b2c2＜9(b2＋4)，又b2＝c2﹣a2＝c2﹣4，则(c2﹣4)c2＜9c2，解得c2＜13，即c＜eq \r(13)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)＜eq \f(\r(13),2)，又e＞1，故离心率的取值范围是(1，eq \f(\r(13),2)).
二、多选题
(多选)已知双曲线C的方程为eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的实轴长为8
B.双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为eq \f(9,4)
【答案解析】答案为：ABC
解析：因为a2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正确；
因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(3,4)x，故B正确；
因为c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(16＋9)＝5，所以焦点坐标为(﹣5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x﹣4y＝0的距离为eq \f(|15|,\r(32＋－42))＝3，故C正确；
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c﹣a＝1，故D错误.
(多选)双曲线C：eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为eq \f(\r(6),2)
B.双曲线eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,8)＝1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为eq \r(2)
D.|PF|的最小值为2
【答案解析】答案为：ABC
解析：因为a＝2，b＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(6)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，故A正确；
双曲线eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,8)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，故B正确；
因为PO⊥PF，点F(eq \r(6)，0)到渐近线eq \r(2)x﹣2y＝0的距离d＝eq \f(|\r(2)×\r(6)|,\r(6))＝eq \r(2)，所以|PF|＝eq \r(2)，所以|PO|＝eq \r(\r(6)2－\r(2)2)＝2，所以△PFO的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×2＝eq \r(2)，故C正确；
|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，即|PF|＝eq \r(2)，故D不正确.
三、填空题
已知F1，F2为双曲线C：x2﹣y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______.
【答案解析】答案为：2eq \r(3).
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴ SKIPIF 1 < 0 错误！未找到引用源。＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3).
经过点P(3,2eq \r(7))，Q(﹣6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________.
【答案解析】答案为：eq \f(y2,25)﹣eq \f(x2,75)＝1.
解析：设双曲线方程为mx2﹣ny2＝1(mn＞0).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)﹣eq \f(x2,75)＝1.
设双曲线eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.
【答案解析】答案为：eq \f(32,15).
解析：因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(5,0)，不妨设直线BF的方程为y＝eq \f(4,3)(x﹣5)，代入双曲线方程解得B(eq \f(17,5)，﹣eq \f(32,15)).所以S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________.
【答案解析】答案为：y＝±eq \r(3)x.
解析：因为双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝eq \r(3)|OP|，则C的渐近线方程为________.
【答案解析】答案为：y＝±eq \r(3)x.
解析：根据双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
则|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝eq \r(3)|OP|＝eq \r(3)c，所以在△POF1中，由余弦定理可得cs∠POF1＝eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|PF1|2,2|OP|·|OF1|)＝eq \f(c2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)c))2,2×c×c)＝﹣eq \f(1,2).所以∠POF1＝eq \f(2π,3)，则∠POF2＝eq \f(π,3)，所以tan∠POF2＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，则渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
已知F是双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
【答案解析】答案为：9
解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小.由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
四、解答题
已知双曲线eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(－→))·eq \(MF2,\s\up6(－→))＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程.
【答案解析】解：(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵eq \(MF1,\s\up6(－→))·eq \(MF2,\s\up6(－→))＝0，∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m﹣n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵S＝eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)×2ch，∴h＝eq \f(2\r(5),5).
即M点到x轴的距离为eq \f(2\r(5),5).
(2)设双曲线C的方程为eq \f(x2,16－λ)﹣eq \f(y2,4＋λ)＝1(﹣4＜λ＜16).
∵双曲线C过点(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,16－λ)﹣eq \f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝﹣14(舍去)，
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,12)﹣eq \f(y2,8)＝1.
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±eq \f(2\r(5),5)x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围.
【答案解析】解:(1)由题意得eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(5),5)，①
S＝eq \f(1,2)×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴双曲线C的标准方程是eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,4)＝1.
(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略).
将y＝kx＋m与eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,4)＝1联立，消去y，
整理得(4﹣5k2)x2﹣10kmx﹣5m2﹣20＝0，
由4﹣5k2≠0且Δ＞0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－5k2≠0，,80m2－5k2＋4>0，))④
∴x1＋x2＝eq \f(10km,4－5k2)，x1x2＝﹣eq \f(5m2＋20,4－5k2)，
∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(5km,4－5k2)，y0＝kx0＋m＝eq \f(4m,4－5k2).
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，
∴kAD＝eq \f(y0－2,x0)＝eq \f(\f(4m,4－5k2)－2,\f(5km,4－5k2))＝﹣eq \f(1,k)，化简得10k2＝8﹣9m，⑤
由④⑤，得m＜﹣eq \f(9,2)或m＞0. 由10k2＝8﹣9m＞0，得m＜eq \f(8,9).
综上，实数m的取值范围是m＜﹣eq \f(9,2)或0＜m＜eq \f(8,9).