北京市房山区2022-2023学年高二下学期期末数学试卷(解析版)

这是一份北京市房山区2022-2023学年高二下学期期末数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ）
A. 28B. 25C. 24D. 22
【答案】B
【解析】由题意知为等差数列，且，
则，所以，
故选：B.
2. 已知数列的通项公式为，则其前n项和（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】数列的通项公式为，则，
即数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以.
故选：A
3. 函数在上的平均变化率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得平均变化率为，故选：C
4. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，左边，
当时，左边，
所以左边应添加因式为
故选：B.
5. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极大值
【答案】A
【解析】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，故选：A.
6. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，因为，故，
所以在上单调递增，
因为，所以，
故选：D.
7. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，，
，
当时，，，恒成立，故A为凸函数；
对于B，对于，，，
当时，恒成立，故B为凸函数；
对于C，由，得，所以，
因为，所以恒成立，故C为凸函数；
对于D，对于，，，
当时，恒成立，故D不是凸函数.
故选：D.
8. 设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，若，则，故A错误，
若，则，故B错误；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，故C正确；
由得，则，故D错误.
故选：C.
9. 设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题设且，则，
若为递减数列，故，则，充分性成立；
若，则，易知为递减数列，必要性也成立；
所以“为递减数列”是“”的充分必要条件.故选：C
10. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（ ）
A. 1125块B. 1134块C. 1143块D. 1152块
【答案】B
【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，，
设每层有环，则，，
是等差数列，则也成等差数列，
所以，
所以，，
故选：B．
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，，
所以前4 项都满足的一个通项公式为.
故答案为：
12. 已知函数，则________．
【答案】2
【解析】因为，所以，则，
所以，
故答案为：2.
13. 函数，若，则________．
【答案】
【解析】函数，求导得，而，
即，解得，
所以.
故答案为：
14. 在各项均为正数的等比数列中，若，则________．
【答案】
【解析】由可得：，
则，因为等比数列的各项均为正数，
则.
故答案：
15. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为________时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是________．

【答案】①2 ②144
【解析】设剪下的四个小正方形的边长为x cm，
则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒的底面矩形长为cm，宽为cm，
则长方体纸盒的底面积为，而长方体纸盒的高为x cm，
于是长方体纸盒的体积（），，
求导得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时， ()．
故答案为：2；144
16. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前n项和为．给出下列结论：
①；
②是奇数；
③；
④．
则所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】对于①，由，且，可得斐波那契数列：，，，，，，，，故故①正确；
对于②：由斐波那契数列：，，，，，，，，，，，，
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且，所以是奇数，故②正确；
对于③：因为，
相加可得：，故③错误；
对于④：因为斐波那契数列总满足，且，
所以，
，
，
类似的有，，
其中
累加得，
，
故：，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．
17. 设数列是等差数列，记其前n项和为．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
条件①：，；
条件②：，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）选条件①，设等差数列的公差为，由，，得，
解得，因此，
所以数列的通项公式是.
选条件②，由，得等差数列的公差，由，得，
所以数列的通项公式是.
（2）选条件①，由（1）知，，则，显然数列等比数列，首项、公比均为4，
所以数列的前n项和.
选条件②，由（1）知，，，
显然数列是等比数列，首项为4，公比为2，
所以数列的前n项和.
18. 已知函数.
（1）设，求曲线在点处的切线方程.
（2）设，若函数有三个不同零点，求实数的取值范围.
解：（1）由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.
(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.
令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.
当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：
∴当c>0且