北师大版数学七年级下册同步讲义第三章第02讲 用关系式、图象表示变量间的关系(4类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第02讲 用关系式、图象表示变量间的关系(4类热点题型讲练)1.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对应思想；2.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来；3.把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验；4.从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化.知识点01 用关系式表示变量之间的关系表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然；知识点02 利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．知识点03 用图象表示变量之间的关系图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法．图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值．行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分．知识点04 从图象中获取信息（1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值；（2）利用图象可以判断因变量的变化趋势；（3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式．特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色.一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．题型01 用关系式表示变量之间的关系【例题】（2023下·吉林白城·八年级统考期末）某汽车油箱中原有油量为，每km的耗油量为0.07升，油箱中的余油量（L）与汽车行驶里程数（km）之间的函数关系式是 （）．【变式训练】1．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）小明想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧长度与所挂物体的质量的几组对应值：  则在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量之间的关系式为________．2．（2022·全国·八年级假期作业）假设圆柱的高是8cm，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生变化．(1)在这个变化的过程中，自变量为________，因变量为________．(2)如果圆柱底面半径为r（cm），那么圆柱的体积V（cm3）可以表示为________．(3)当r由1cm变化到6cm时，V由________cm3变化到________cm3．题型02 利用关系式求值【例题】（2023下·江西九江·七年级统考期中）父亲告诉小明“距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格．根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答．(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？请求出与之间的关系式．(3)距离地面的高空的温度是多少？【变式训练】1．（2023下·河北唐山·八年级统考期中）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为x千米时，应收费为y元．(1)请写出当时，y与x之间的关系式；(2)小亮乘出租车行驶5千米，应付多少元？(3)小亮付车费19.2元，出租车行驶了多少千米？2．（2022下·山东济南·七年级统考期中）目前，上海疫情防控正处于清零攻坚的关键阶段，为进一步支援上海积极抗疫，某省慈善总会采购一批医用级疫情防控物资捐赠给上海．为了找到合适的配送车辆，相关人员查阅资料，了解某种车的耗油量，其数据记录如下：(1)如表反映的两个变量中，自变量是_______，因变量是_______．(2)根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为______升，汽车每小时耗油______升．(3)请直接写出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）．题型03 用图象表示变量之间的关系【例题】（2023上·湖北武汉·七年级统考开学考试）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（    ）A．B．C．  D．  【变式训练】1．（2023上·浙江宁波·七年级统考开学考试）水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　）  A．   B．     C．   D．  2．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（    ）  A．  B．  C．D．  题型04 从图象中获取信息【例题】（2023下·山西运城·七年级统考期末）“忠义仁勇数关公”，说的就是关羽关圣人．农历四月初八，关公游城，祈福国泰民安，风调雨顺，街头人山人海．管理处工作人员用无人机进行航拍，操控无人机需要根据现场状况调节高度，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：  (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度是多少？(2)图中a、b表示的数分别是a=___________，b=___________．(3)求第14分钟时无人机飞行的高度．【变式训练】1．（2023下·陕西汉中·七年级统考期末）如图是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息解答下列问题：  (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是_______；(2)这辆汽车在整个行驶过程中，速度最高是多少千米/时？(3)请简要描述汽车从第10分钟到24分钟之间速度的变换情况．2．（2023下·河南焦作·七年级校考期末）A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同一路线从A地出发驶往B地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午的时间之间的关系．根据图象回答下列问题：(1)甲、乙两人先出发的是__________；先出发___________小时；(2)甲、乙两人先到达B地的是_________；提前________小时到达；(3)甲在2时至5时的行驶速度为__________千米/时；乙的速度为__________千米时；(4)甲出发后________小时乙追上他，此时距离A地__________千米．一、单选题1．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）下列说法不正确的是（    ）A．正方形面积公式中有两个变量：S，aB．圆的面积公式中的是常量C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量D．如果，那么a，b都是常量2．（2023上·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（    ）A． B． C． D．3．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，三角形底边上的高是．当三角形的顶点沿底边所在直线向点运动时，在这个变化过程中，下列叙述正确的有（ ）①线段的长是常量；②底边上的高是常量；③线段的长是变量；④三角形的面积是变量．A．个 B．个 C．个 D．个4．（2023上·陕西榆林·八年级校考开学考试）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）  A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢5．（2023下·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期中）如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（    ）  A．9 B．12 C．16 D．32二、填空题6．（2023上·山东济南·八年级校联考期中）如果每盒圆珠笔有12支，每盒的售价是18元，那么圆珠笔的总售价y（元）与数量x（支）之间的函数关系式为 ．7．（2017·甘肃张掖·八年级统考期末）一水池的容积是，现有蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止．则水池蓄水量与注水时间之间的关系式为 ．8．（2020上·甘肃张掖·八年级校考期中）小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是 ．（填序号）9．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期末）张大爷要围成一个长方形花园，花园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是 ．（不需要写自变量取值范围）  10．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．  三、解答题11．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过吨，按每吨元收费．如果超过吨，未超过的部分仍按每吨元收费，超过部分按每吨元收费．设某户每月用水量为吨，应收水费为元．(1)分别写出当每月用水是未超过吨和超过吨时，与之间的函数表达式；(2)若该城市某用户月份和月份共用水吨，且月份的用水量不足吨，两个月一共交水费元，求该用户月份用水多少吨？12．（2022下·安徽·七年级校考期中）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．(1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？(2)当每增加1cm时，如何变化？(3)当时，等于什么？此时表示的是什么？13．（2022上·安徽安庆·八年级校考期中）通过市场调查，一段时间内某地区某种商品的需求量千克与市场价格元/千克（）之间存在下列关系：又假设该地区该商品在这段时间内的生产量千克与市场价格元/千克成正比例关系：，其中满足，现在不计其他因素影响，如果需求量等于生产量，那么此时市场处于平衡状态．(1)试通过找点画图探究与之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)根据以上市场调查，请你分析；当市场处于平衡状态时，该地区这种商品的市场价格与这段时间内的总销售收入各是多少？14．（2023下·四川达州·七年级校考期末）巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息：  (1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；(2)朱老师的速度为______秒；小明的速度为______米/秒；(3)求小明第一次追上朱老师前，朱老师距起点的距离s与t的关系式，并写出自变量t的取值范围．15．（2023下·陕西榆林·七年级校考期中）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子…，其中餐桌的数量用（张）表示，椅子的数量用（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化．  (1)题中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)请写出椅子的数量（把）和餐桌的数量（张）之间的关系式；(3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人？请说明理由．16．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：  (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒；(2)a表示的数字是____________；(3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米．17．（2023下·广东梅州·七年级统考期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：(1)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是_______________________；(2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表直接写出与的关系式_____________；(3)当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度；(4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？18．（2023下·云南文山·七年级校联考期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题：  (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？(2)小明从家到学校的路程共多少米？(3)从家出发到学校，小明共用了多少分钟？(4)小明修车用了多长时间？(5)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？所挂物体的质量012345弹簧长度距离地面的高度012345温度/℃201482汽车行驶时间t（小时）0123……油箱剩余油量Q（升）100959085……（元/千克）5101520（千克）4500400035003000所挂物体的质量/弹簧的长度/