初中数学北师大版（2024）八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课堂检测

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2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；
4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；
5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
知识点01 线段的垂直平分线
知识点02 角的平分线
题型01 线段的垂直平分线的性质
【例题】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点．
(1)求证：
(2)若，则
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．

(1)若的周长为，求的长；
(2)若，求的度数．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，于点D，，连接．
(1)若平分，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
题型02 线段的垂直平分线的判定
【例题】如图，中，，连接为是上一点且．
(1)求证：垂直平分．
(2)已知求的面积．
【变式训练】
1.如图，为等边三角形，，，相交于点E．
(1)求证：垂直平分；
(2)求的长；
(3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）．
2.如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．
(1)求证：；
(2)过点A作，交延长线于点，交于，连接．
①若，则 ．
②求证：垂直平分．
题型03 线段的垂直平分线的实际应用
【例题】如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点D．三条中线的交点
【变式训练】
1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）
A．的三条中线的交点B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
题型04 线段的垂直平分线的尺规作图
【例题】如图，已知在中，．

(1)用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)边的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若的周长是10，求．
【变式训练】
1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）
2．如图，已知点、点以及直线．
(1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；
(2)在（1）中所作的图中，连接，若，过点作于点，过点作于点．求证：
题型05 角平分线的性质定理
【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图平分，，垂足分别为E、F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，，点E是的中点．平分．

(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F．
(1)求证：；
(2)若，则的周长______．
题型06 角平分线的判定定理
【例题】如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且．
(1)求证：平分；
(2)如果，，求的长．
【变式训练】
1．如图，于E，于F，若．

(1)求证：平分；
(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．
2．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．

(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
题型07 角平分线性质的实际应用
【例题】三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【变式训练】
1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）

A．个B．个C．个D．个
题型08 作角平分线（尺规作图）
【例题】已知：如图，在中，，．

(1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求的角度？
【变式训练】
1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．
一、单选题
1．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则（ ）

A．B．C．D．
2．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点D．三边上高的交点
4．（2023上·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，直线垂直平分，分别交于点D，交于点E，连接，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
二、填空题
6．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，的垂直平分线分别交于点D和点E，连接，则的度数是 ．
7．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ．
8．（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，若的周长为，，则的周长为 ．
9．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是 ．
10．（2023上·河北廊坊·八年级校联考期中）如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
（1）若，则 ；
（2）已知，，则的长是 ．
三、解答题
11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E、F，连接，作于点D，且D为的中点．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知中，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．
(1)作边的垂直平分线，交于点E，交于点F；
(2)连接；
(3)作的平分线，交于点G．
13．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在中，D是上一点，于点F，连接，垂直平分．

(1)求证：是的平分线；
(2)若的周长为18，的面积为24，，求的长．
14．（2023上·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，中，D为的中点，交的平分线于E，，交于F，，交的延长线于G．
(1)试问：与的大小如何？证明你的结论．
(2)若，试求的长．
15．（2023上·北京·八年级期末）在中，，的垂直平分线交于N，交的延长线于M，度．
(1)求的度数；
(2)若将的度数改为80°，其余条件不变，再求的大小；
(3)你发现了怎样的规律？试证明；
(4)将（1）中的改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．
16．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，则的度数为 ；（用含的代数式表示）
(3)连接，的周长为，的周长为，求的长．
17．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，，平分交于D，，点M在的垂直平分线上，交于O，于点G，于点F．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若点D在的垂直平分线上，试判断的形状，并说明理由．
18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知平分，于点，于点．

(1)探究：如图2，点是上任意一点（不与、重合），连接、，问题：请判断与的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，连接．问题：
①垂直平分吗？请说明理由．
②若，，求的周长．