北师大版（2024）九年级下册5 三角函数的应用同步测试题

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.方向角问题
题型2.坡度、坡角问题
题型3.方案决策问题
题型4.一题多解——求建筑物的高
【方法三】差异对比法
易错点：对俯角的意义理解错误
【方法四】仿真实战法
考法. 解直角三角形的应用-坡角问题
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用。
能够把实际问题转化数学问题，能够借助计算器进行有关s'j函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，提高解决实际问题的能力。
能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航海、工程技术等生活中的实际问题。
重难点：把实际问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形形达到求解的目的。
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）
1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.
2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.
3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
4．如图，坡面的铅垂高度()和水平宽度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即.
坡度通常写成的形式，如1︰1.5．
5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作.
坡度与坡角之间的关系: .
知识延伸※
方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所
成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.
2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角的取值范围为.
【例1】．（2023秋•成都期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，（求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：，
【例2】．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面如图所示．为台面，垂直于地面，表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角为，坡长为．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡的坡角，是改造后的斜坡在直线上），坡角为．求斜坡底端与平台的距离．（结果精确到【参考数据：，，；，，】
【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，海岸边上有三个观测站，，，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站，之间的距离为30海里．某天，观测站，，同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向．
（1）求的长度．（结果精确到个位）
（2）目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：，
【方法二】实例探索法
题型1.方向角问题
1．（2023•高碑店市模拟）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西方向上，则河宽的长为
A．米B．米C．米D．米
2．（2023•金东区二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于 米．
A．B．
C．D．
3．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路长500米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 米（结果保留根号）．
4．（2023春•沙坪坝区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向（参考数据：，，．
（1）求道路的长度（精确到个位）；
（2）若甲从点出发沿——的路径去点，与此同时乙从点出发，沿——的路径去点，其速度为40米分钟．若两人同时到达点，请比较谁的速度更快？快多少？（精确到十分位）
5．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，五边形是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道．经勘测，，景点在景点的东北方向，且在景点的南偏东方向的800米处，景点在景点的正南方向500米处，（参考数据：，
（1）求景点与景点的距离；（结果精确到1米）
（2）甲、乙两人同时从景点出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是，甲游览的平均速度是100米分，乙游览的平均速度是80米分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点？
6．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点在点的正北方935米处，点在点的正东方，点在点的北偏东，且在点的正北方，，米，米．（参考数据：，，
（1）求的长度（结果精确到1米）；
（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米分的速度从点出发沿路线的方向骑行，爸爸以150米分的速度从点出发沿路线的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达点？请说明理由．
7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，小明家和商店都在地铁站的正西方向，小亮家在地铁站的西北方，且在小明家北偏东方向．一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米的商店时，小亮家恰在商店的北偏西方向．（参考数据：，
（1）求小明和小亮家的距离（保留根号）；
（2）小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿方向前往地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁先到达地铁站呢？请说明理由．
题型2.坡度、坡角问题
8．（2023•秦都区校级模拟）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的减至，已知原电梯坡面的长为8米，更换后的电梯坡面为，点延伸至点，求的长．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，
题型3.方案决策问题
9．（2023秋•大东区期末）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，
题型4.一题多解——求建筑物的高
10．（2023秋•长春期末）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点、、在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．求塔的高度．【参考数据：，】．
11．（2023秋•闵行区月考）如图，，表示两栋建筑，小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度，首先他在建筑的底部处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，已知，，测角仪置于水平高度1.5米的、处．试求建筑的高度．
【方法三】差异对比法
易错点：对俯角的意义理解错误
12．（2023秋•诸城市期中）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼的高度．小亮站立在距离楼底部94米的点处，操控无人机从地面点，竖直起飞到正上方60米点处时，测得楼的顶端的俯角为，小亮的眼睛点看无人机的仰角为（点、、三点在同一直线上）．求楼的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米，
【方法四】 仿真实战法
考法. 解直角三角形的应用-坡角问题
1．（2023•淄博）如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，则立柱的高为 米（结果精确到0.1米）．
2．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为 （参考数据：，
A．1.59米B．2.07米C．3.55米D．3.66米
3．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 （参考数据：，
A．B．C．D．
4．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到．
（参考数据：，，
5．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到1米，参考数据：，，
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校联考阶段练习）已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·河北保定·九年级统考阶段练习）如图，在综合实践活动中，嘉嘉在学校门口的点A处测得树的顶端的仰角为，同时测得米，则树的高为（ ）
A．米B．米C．米D．米
3．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）位于河南省三门峡市的三门峡大坝诞生于1957年，被誉为“万里黄河第一坝”．它的建成不仅为黄河流域的灌溉和发电提供了重要的保障，也为国家的经济发展和生态环境保护做出了贡献．如图，大坝的横截面为梯形，迎水坡的坡角为，坡度约为，坝面宽，坝高约为，则坝底的长约为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·四川资阳·九年级校考阶段练习）河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是（ ）
A．米B．10米C．15米D．米
5．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）学校摄影兴趣小组在上摄影课，小王发现摄影三脚架如图1所示，该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图2，过点A向地面作垂线，垂足为C．若三脚架的一个脚的长为2米，，则相机距地面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．（2023上·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）如图，四边形是某护坡大坝的横截面，，坝顶宽为5米，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，坡长米，则坝底宽约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，表示两栋楼房，则下列说法正确的是（ ）
A．两楼之间的距离是B．从点看点的仰角是
C．从点看点的仰角是D．从点看点的俯角是
9．（2024·上海杨浦·统考一模）如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）一艘货轮从小岛正南方向的点处向西航行到达点处，然后沿北偏西方向航行到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，，则的值为 ．
12．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）大西高铁侯马西站站房扩建工程是展示侯马市形象的重要窗口，9月日改扩建全部完成．如图，这是旅客出入站的自动扶梯示意图，自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度的长为 ．
13．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为
14．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）一个人从山下沿角的坡路登上山顶，共走了，那么这山的高度是 ．
15．（2023上·山东日照·九年级校考阶段练习）如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为 ．
16．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为，已知大厦的层高均为，则这棵树与大厦的距离为 m．
17．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行硏制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向．则的度数为 ；B、C两地的距离是 ．（结果保留根号）
18．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进，又测得该建筑物顶端A的仰角为，则该建筑物的高度为 （结果保留根号）
三、解答题
19．（2023上·山东东营·九年级统考期中）如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，）
20．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）某兴趣小组测量一棵松树的高度．如图，在离树干的处，用高的测角仪测得松树顶端的仰角，已知树干和测角仪均与地面垂直，求该树干的高．（参考数据：）
21．（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为，在B点处测得碑顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
22．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距60米，在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为，测得铁塔顶部的仰角为，求：
(1)建筑物高（精确到1米）；
(2)求铁塔的高度（精确到1米）．（已知，）
23．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）近几年，中国的无人机技术发展迅速，处于世界领先水平．月日，南阳市某中学组织了“无人机进校园”活动，用科技结合所学知识，为孩子们点亮科技梦．如图，无人机操控者在一综合楼外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度处时，无人机测得操控者的俯角为，测得综合楼的顶点处的俯角为．已知操控者和综合楼之间的距离为，综合楼的高度为．求此时无人机的高度．（假设点，，，都在同一平面内．参考数据：，，）
24．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在一条水平的码头上有两处灯塔A和B，在灯塔处测得某一渔船位于北偏西方向的处，当渔船沿着正北方向前进到达处时，在灯塔处测得处位于西北方向．已知，求处到码头的距离．
25．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡比，铅垂高度米（点在同一水平线上）．
(1)两位市民甲、乙之间的距离；
(2)此时飞机的高度．（结果保留根号）
26．（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）嘉淇看到这样一道题目：
如图，某巡逻船在处测得一艘敌舰在北偏东的处，卫星测得相距海里，巡逻船静止不动，分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东的处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为海里/小时．（结果保留整数，参考数据：，，，）
嘉淇过点作于，设海里，请你帮她接着解决以下问题：
(1)______里（用含用的代数式表示）；
(2)求敌舰在处时与巡逻船的距离．
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
0.530
0.848
0.625