北师大版（2024）九年级下册1 二次函数课时作业

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.二次函数的图象及性质（重点 难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围
题型2.二次函数的增减性问题
题型3.抛物线的对称性
题型4.根据条件确定参数的取值范围
题型5.二次函数与其他函数相结合的双图象问题
题型6.二次函数图象与图形的综合
【方法三】差异对比法
易错点：不能根据二次函数的各项系数确定二次函数的大致图象
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
掌握二函数图象的画法及性质。
会计算二次函数图象的顶点坐标，图象的开口方向，图象的对称轴。
会用二次函数的图象与性质解决相关的计算题。
重点：二次函数的图象及性质。
难点：二次函数性质的应用。
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.二次函数的图象及性质（重点 难点）
二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．
任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式．
对配方得：．
由此可知：
抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．
当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；
当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．
【例1】对于二次函数：
（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
（2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随着x的增大而减小．
【答案】（1）开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为；
（2）、；（3）．
【解析】（1），∴函数图像开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为；
（2）把代入解析式得，∴与轴交于；把代入解析式得，∴与轴交于；
（3）∵图像开口向下，∴在对称轴的右侧随着的增大而减小，即时，随着的增大而减小．
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质．
【变式1】.已知二次函数，若，，，那么它的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
x
y
x
y
x
y
x
y
【答案】A．
【解析】∵，∴图像开口向下，又∵，∴对称轴为直线，在轴左侧，∵，∴抛物线与轴交于正半轴．
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质，当、同号时，对称轴在轴左侧，当、异号时，对称轴在轴右侧，即“左同右异”，熟记系数与图像之间的关系是做题的关键．
【变式2】二次函数中，，，，则其图像的顶点在第____象限．
【答案】四．
【解析】∵，，∴图像开口向上，对称轴在轴右侧，又∵，∴顶点在第四象限．
【总结】本题考查了二次函数的图像．
【方法二】实例探索法
题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围
1．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图像如图所示，对称轴为，且经过点，下列说法：①；②；③；④若、是抛物线上的两点，则；⑤（其中），正确的结论有（ ）
A．②③④B．①②⑤C．①③⑤D．①②④⑤
【答案】B
【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为，推导出，、以及a与b之间的关系：；根据二次函数图像经过点，可得出；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，y有最大值．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，①正确；
∵抛物线经过，对称轴为直线，
∴抛物线经过，即，②正确；
∵时，，
∴③不正确；
∵，
∴到对称轴距离小于到对称轴距离，
∴，④不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，抛物线y取得最大值，
当时，，且，
∴，
即，
故⑤正确；
综上，结论①②⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系及二次函数图像上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图像之间的联系．
题型2.二次函数的增减性问题
2.已知抛物线，当x > 1时，y随着x的增大而______；当x < 1时，y随着x的增大而______．
【答案】减小；增大．
【解析】∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴
的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大．
【总结】本题考查了二次函数的性质．
3.请选择一组a、b、c的值，使二次函数（）的图像同时满足下列条件：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是___________________．
【答案】，答案不唯一，符合题意即可．
【解析】由题意得抛物线开口向下，对称轴为直线．
【总结】本题考查了二次函数的性质．
题型3.抛物线的对称性
4.已知二次函数的图像上有A（，y1）、B（2，y2）、C（，y3）三个点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D．
【解析】二次函数的对称轴为直线，∵，
∴到直线的距离越小的点就越小，∴．
【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解，做题的关键是掌握抛物线的对称性．
5.已知抛物线的对称轴为，且过点（0，4），求m、n的值．
【答案】，．
【解析】由题意得，解得，把（0，4）代入得．
【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征．
题型4.根据条件确定参数的取值范围
6．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线，其中a为常数，且．
(1)设此抛物线与y轴的交点为A，过点A作y轴的垂线交抛物线于另一点B，求点B的坐标；
(2)若抛物线先向右平移h个单位长度，再向下平移3h个单位长度后，可得抛物线，求a的值；
(3)已知点、均在此抛物线上，且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据，求得x值，即可确定点B的坐标．
(2)根据平移规律得到，得到，确定h的值，后计算a值即可．
(3)根据对称性，确定的对称点，结合，确定m的范围即可．
【详解】（1）∵抛物线与y轴的交点为A，
∴．
∴，
解得（舍去），
∴．
（2）根据平移规律得到，
∴，
∴，
∴，
解得，
故a值为．
（3）∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
设的对称点为，
∴，
解得，
∴
∵点、均在此抛物线上，且，
∴．
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，平移规律，对称性和增减性，熟练掌握平移规律，对称性和增减性是解题的关键．
题型5.二次函数与其他函数相结合的双图象问题
7.在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
x
y
x
y
x
y
x
y
【答案】D．
【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数经过第一、二、三象限；当时，抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，一次函数经过第二、三、四象限．
【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．
8.如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】A：由抛物线可知，，由直线知，，∴A正确；
B：由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误；
C：由抛物线可知，，由直线知，，∴C错误；
D：由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误；
【总结】本题考察二次函数和一次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质是做题的关键，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．
题型6.二次函数图象与图形的综合
9.将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C．如果是等腰直角三角形，求顶点C的坐标．
【答案】．
【解析】设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，
则，，，
设对称轴与轴交于点，可得，，
∵抛物线顶点为，由抛物线对称性可知，∴，
∴，即，解得，（舍），
∴顶点的坐标为．
【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．
10．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是___________．
【答案】1
【分析】将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点所在函数解析式，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
设，则，
∴抛物线顶点在直线上，
将代入得，
将代入得，
解得，
∴直线经过，，
∴顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握求抛物线顶点轨迹的方法．
【方法三】差异对比法
易错点：不能根据二次函数的各项系数确定二次函数的大致图象
11.已知二次函数，若，，，那么它的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
x
y
x
y
x
y
x
y
【答案】A．
【解析】∵，∴图像开口向下，又∵，∴对称轴为直线，在轴左侧，∵，∴抛物线与轴交于正半轴．
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质，当、同号时，对称轴在轴左侧，当、异号时，对称轴在轴右侧，即“左同右异”，熟记系数与图像之间的关系是做题的关键．
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•绿园区期末）若抛物线的对称轴为轴，且点在该抛物线上，则的值为
A．B．0C．2D．4
【分析】直接利用二次函数的性质得出，再利用图象上点的坐标得出答案．
【解答】解：抛物线的对称轴为轴，
，
点在该抛物线上，
，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出的值是解题关键．
2．（2022秋•孝义市期末）将抛物线向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为
A．B．C．D．
【分析】先将抛物线化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解答】解：将化为顶点式为：，
向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为
故选：．
【点评】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线平移规律是解题关键．
3．（2023秋•庐阳区校级月考）已知二次函数中的与的部分对应值如下表：
则下列判断正确的是
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，随的增大而减小
D．方程的正根在3与4之间
【分析】结合图表可以得出当或2时，，可以求出此函数的对称轴是直线，顶点坐标为，借助两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．
【解答】解：由图表可以得出当或2时，，可以求出此函数的对称轴是直线，顶点坐标为，
二次函数解析式为：，
再将点代入得：，
解得：，
，
，抛物线开口向上错误，故错误；
，
与轴交点坐标为，故与轴交于正半轴，
故错误；
当时，随的增大而减小时正确的，
故正确；
方程，△，
此方程有两个不相等的实数根，
由表正根在2和3之间；
故选：．
【点评】主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．
4．（2022秋•姜堰区期末）将关于的函数的图象向下平移两个单位，以下说法错误的是
A．开口方向不变B．对称轴不变
C．与轴的交点不变D．自变量的取值范围不变
【分析】二次函数的图象向下平移两个单位时，函数图象开口方向不变，但顶点坐标、与坐标轴的交点均发生变化．
【解答】解：将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、自变量的取值范围不变，与轴的交点改变，故选项符合条件，选项、、均不符合条件，
故选：．
【点评】此题主要考查二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．
5．（2022秋•丹江口市期末）把二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移4个单位，则两次平移后的图象解析式是
A．B．
C．D．
【分析】先把原解析式化为顶点式，再根据抛物线平移的性质，即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移4个单位，
两次平移后的图象解析式是．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移的规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键．
6．（2023秋•克东县期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：，
图象的开口向下，对称轴是直线，
关于对称轴的对称点为，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7．（2022秋•东明县期末）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论①；由对称轴及对称轴公式可判断结论②；由抛物线与轴的交点可判断结论④；抛物线的对称轴直线，过点，可判断出另一个交点为，即可判断结论③；由对称轴和当时，的值，即可判断结论④．
【解答】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴，
，，，
，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故②正确；
抛物线的对称轴直线，过点，
另一个交点为，
当时，，即，故③正确；
当时，，
，
，
，即，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
8．（2023秋•明光市期中）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点．若OA＝OB，则下列结论成立的是（ ）
A．4b﹣c＝1B．b+4c＝1C．4b﹣c＝4D．4b+c＝4
【分析】先求出A、B的坐标，然后把A的坐标代入函数解析式即可求解．
【解答】解：当x＝0时，y＝c，
∴B（0，c），
∴OB＝c，
∵OA＝OB，
∴OA＝c，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入，得，
∴4b+c＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是待定系数法求二次函数解析式．
9．（2022秋•桥西区期末）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是
A．只有甲答的对B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整D．甲、丁答案合在一起才完整
【分析】依据题意，根据待定系数法首先求出抛物线与直线的解析式，由得，，可知、的水平距离为3，分三种情况：当在左侧的直线上时，当在线段上（不含时，当在右侧的直线上时，对线段与抛物线交点进行讨论．
【解答】解：由题意，把代入得：
，
解得．
把代入得：
，
解得．
从而得或，
，．
、的水平距离为3．
在左侧的直线上时，向左平移3个单位长度得到点，此时线段与抛物线无公共点，
当在线段上（不含时，向左平移3个单位长度得到点，线段与抛物线只有一个公共点，
此时．
在右侧的直线上时，若，
则抛物线和线段交于抛物线的顶点，
即时，线段与抛物线只有一个公共点．
上所述，点的横坐标的取值范围是或．
故选：．
【点评】本题主要二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并能分类求解确定的位置是关键．
10．（2022秋•安新县期末）在平面直角坐标系中，如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②； ③方程的两根分别为和1；④，其中正确的命题有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为，且过点，根据对称轴可得抛物线与轴的另一个交点为，把代入可对①做出判断；由对称轴为，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线，过点，
把代入得，，，所以，因此①错误；
对称轴为直线，即：，整理得，，因此②错误；
由抛物线的对称性，可知抛物线与轴的两个交点为，，，因此方程的两根分别为和1；故③是正确的；
由图可得，抛物线有两个交点，所以，故④正确；
故选：．
【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与轴，轴的交点，以及增减性上寻找其性质．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•铁西区期末）二次函数的最小值是 0 ．
【分析】配成顶点式，根据函数的性质求解．
【解答】解：，
，
当时，有最小值，最小值0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．
12．（2023秋•闵行区月考）已知点和在二次函数图象上，则 0．（填“”、“ ”或“”
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：，
图象的开口向下，对称轴是直线，
时，随的增大而减小，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
13．（2023秋•雁塔区校级月考）若三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
当，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质；掌握二次函数的增减性是解题关键．
14．（2023秋•普陀区期末）已知二次函数的图象与轴的交点在正半轴上，那么的取值范围是 ．
【分析】根据二次函数的图形与轴的交点坐标为即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将代入二次函数表达式得，
．
又因为二次函数的图象与轴的交点在正半轴上，
所以，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，能用表示出二次函数与轴交点的纵坐标是解题的关键．
15．（2023秋•浑江区期末）开口向下的抛物线的对称轴经过点，则 ．
【分析】主要利用抛物线的性质．
【解答】解：由于抛物线的对称轴经过点，
对称轴为直线，，
解得，．
由于抛物线的开口向下，所以当时，，不合题意，应舍去，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查抛物线的对称轴公式．
16．（2022秋•潢川县期末）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与直线y＝﹣1的交点坐标是 （2，﹣1） ．
【分析】联立两个函数解析式求解即可．
【解答】解：由题意，得，
解得，
∴次函数y＝x2﹣4x+3的图象与直线y＝﹣1的交点坐标是（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数与直线的交点问题，联立函数解析式求解是解答本题的关键．
17．（2022秋•姜堰区期末）已知关于的二次函数的图象不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数的值为 0（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数图象的特点解答即可．
【解答】解：关于的二次函数的图象不经过第一、二象限，
，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，根据二次函数解析式的系数确定图象位置是解答本题的关键．
18．（2023秋•吉林期中）若二次函数△有最大值，则“△”中可填的数字是 （答案不唯一） ．
【分析】依据题意，先设△处为，然后根据二次函数的性质得，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，设△处为，由题意得二次函数为，
二次函数有最大值，
二次函数的图象开口向下即，
可以是．
△中可填的数是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
三．解答题（共6小题）
19．（2022秋•广陵区校级期末）如图，已知抛物线经过点．
（1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）把代入得：
，
解得，
，
抛物线的顶点坐标为；
（2），
抛物线开口向下，有最大值4，
当时，，当时，，
当时，的取值范围是．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
20．（2022秋•郸城县期末）已知二次函数．
（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随增大而减小，当为何值时，随增大而增大．
【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，随增大而增大，在对称轴的右侧，随增大而增大减小进行解答即可．
【解答】解：（1），
，
抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）抛物线的开口向下，
时，随增大而减小，时，随增大而增大．
【点评】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023秋•黄山期中）定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
（1）抛物线的顶点坐标为 ，它的“同轴对称抛物线”为 ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线的对称轴对称的点、，连接、、、．当四边形为正方形时，求的值．
【分析】（1）根据顶点式的性质直接写出坐标即可，再由“同轴对称抛物线”定义得出答案；
（2）写出点的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线的解析式可知，抛物线的顶点坐标为；它的“同轴对称抛物线”为．
故答案为：；．
（2）点是抛物线上一点，点、关于该抛物线的对称轴对称，
点也在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，且点的横坐标为1，
点的横坐标为3，
，
当四边形为正方形时，
则，
由题意可知，、关于轴对称且点在第四象限，
点的纵坐标为
点的坐标为．
把点的坐标代入，解得．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式图象与性质，二次函数的图象变换，正方形的性质．熟练掌握二次函数的顶点式图象与性质是解题的关键．
22．（2023秋•芜湖期中）已知二次函数的图象顶点为．
（1）请直接写出点的坐标 ；
（2）请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象；
（3）当时，则的取值范围是 （直接写出结果）
【分析】（1）用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；
（2）列出表格，通过顶点坐标与对称轴向左右两方取值，再描点即可得出；
（3）结合二次函数图象，当时，则的取值范围．
【解答】解：（1）；
点的坐标为：．
故答案为：；
（2）列表得：
描点、连线画出函数图象如图：
（3）时，；时，，
当时，则的取值范围是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及描点法画二次函数图象以及二次函数的性质等知识，此题是二次函数的基本性质也是考查重点，同学们应熟练掌握．
23．（2023•海曙区一模）对于抛物线．
（1）若抛物线过点．
①求顶点坐标；
②当时，直接写出的取值范围为 ；
（2）已知当时，，求和的值．
【分析】（1）①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线，由当时，可知抛物线顶点坐标为，且过点，把顶点坐标代入解析式即可求得，然后把点代入解析式即可求得的值．
【解答】解：（1）若抛物线过点，则，
解得，
；
①，
顶点坐标为；
②当时，，
当时，的取值范围为，
故答案为：；
（2）抛物线对称轴为直线，
当时，，且时，，
时，为函数最小值，即抛物线顶点坐标为，，
，
解得，
，
把，代入得，
解得，，
，
，
故的值为2，的值为3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023秋•上思县期中）二次函数中的，满足如表．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）当时，求对应的函数值；
（3）当时，函数的值随的增大而 （填“增大”或“减小” ．
【分析】（1）由表格得出即可；
（2）把代入，进行计算即可得；
（3）根据，，抛物线的对称轴为直线得抛物线开口向上，即可得当时，随的增大而增大．
【解答】解：（1）由表格数据可得出，抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
（2）把，，代入，
，
解得，
，
把代入，可得，
当时，对应的函数值为12；
（3），，抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质．
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