数学九年级下册3 确定二次函数的表达式综合训练题

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.用待定系数法求二次函数的表达式（重点 难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.用一般式求函数的表达式
题型2.根据抛物线的对称轴确定表达式
题型3.通过列方程的方式求函数的表达式
题型4.借助特殊四边形的顶点坐标求函数的表达式
【方法三】差异对比法
易错点：没有正确运用顶点坐标公式
【方法三】 成果评定法
【学习目标】
掌握用待定系数法确定二次函数的表达式的方法。
能确定实际问题中的二次函数的表达式。
会用二次函数解决相关的计算题。
重点：用待定系数法确定二次函数的表达式。
难点：用二次函数解决相关的计算题。
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.用待定系数法求二次函数的表达式（重点 难点）
一．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
二．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【例1】一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．
【例2】.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．
【例3】．（2023·广东深圳·三模）如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【方法二】实例探索法
题型1.用一般式求函数的表达式
1.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
题型2.根据抛物线的对称轴确定表达式
2．（2023·江苏无锡·一模）请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线： ．
3．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数图象的对称轴是．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线．得到二次函数的解析式为________；
(3)若二次函数的图象满足当时，二次函数有最大值1，求的值．
题型3.通过列方程的方式求函数的表达式
4．（23·24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题；
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由．
5．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值；
(3)如果点和点在函数的图象上，且，，求的值．
题型4.借助特殊四边形的顶点坐标求函数的表达式
6.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．
【方法三】差异对比法
易错点：没有正确运用顶点坐标公式
顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.
7.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•徐汇区期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是
A．B．C．D．
2．（2023秋•吉林期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为
A．B．C．D．
3．（2023秋•长春期末）将二次函数化成的形式为
A．B．C．D．
4．（2023秋•浙江月考）有一二次函数，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数的表达式为
A．B．C．D．
5．（2023秋•长春期末）将函数整理为顶点式为
A．B．
C．D．
6．（2023秋•天长市期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为
A．B．C．D．
7．（2023•襄垣县一模）将二次函数化成的形式，正确的是
A．B．C．D．
8．（2023秋•烟台期中）小明在用“描点法”探究二次函数的性质时，画出了以下表格：
遗憾的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小明只记得遗忘的三个数，，中有两个数相同．根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是
A．B．
C．D．
9．（2023秋•宿松县期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为
A．B．
C．D．
10．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点，，，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•永兴县期中）如图， 函数的图象， 则其解析式为 ．
12．（2023秋•陕州区期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，则该抛物线的解析式是 ．
13．（2023秋•交城县期中）把二次函数化为顶点式为 ．
14．（2023秋•东城区校级期中）将二次函数用配方法化成的形式为 ．
15．（2023秋•咸丰县期中）若抛物线与抛物线的形状相同，且经过点，则它的解析式为 ．
16．（2023秋•闵行区月考）已知抛物线的顶点在直线上，且开口向下，请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式： ．
17．（2023秋•淄川区期中）已知点为抛物线上一动点．当时，的取值范围是，则抛物线的解析式为 ．
18．（2023秋•高陵区月考）已知抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•长春期末）已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．
20．（2023秋•明光市期中）已知抛物线经过点和．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）若点和点是该抛物线上两个不同的点，已知，求的值．
21．（2022秋•新化县期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象与该一次函数图象交于、两点，点坐标为．
（1）求一次函数及二次函数表达式；
（2）直线与抛物线交于点、与直线交于点，
①当点位于点的上方时，结合函数的图象直接写出的取值范围；
②当点在线段上时，求线段长度的最大值及此时点的横坐标．
22．（2023秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）求顶点的坐标．
（3）当时，直接写出的取值范围．
23．（2023秋•瑞安市期中）已知二次函数的图象过点，点和点．
（1）若点，求二次函数表达式；
（2）若，．
①当时，求最大值与最小值的差（用含的代数式表示）；
②证明：．
24．（2023秋•朝阳区校级期中）已知抛物线经过点，．
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）若点和都在此函数的图象上，且，直接写出的取值范围．
25．（2022秋•浦北县期末）如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在线段上（不与，重合），过点作轴交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长．
26．（2023秋•绥棱县校级期中）已知二次函数．
（1）用配方法将化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当取何值时，随的增大而减少？
（4）当取何值时，，，，
（5）当时，求的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
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