初中北师大版（2024）第二章 二次函数4 二次函数的应用课后测评

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.最大面积问题（重点）
知识点2.最大利润问题（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.运动中的二次函数问题
题型2.二次函数与建筑问题
题型3.分段函数问题
题型4.动点问题
【方法三】差异对比法
易错点：混淆销售利润各量之间的关系而导致错误
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
能运用二次函数解决最大面积（高度）问题
能建立二次函数模型解决最大利润问题。
能从实际问题中抽象出二次函数，并能运用二次函数的性质解决问题。
重点：利用二次函数解决最大面积，最大高度、最大利润问题。
难点：二次函数性质的应用。
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.最大面积问题（重点）
求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．
而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．
【例1】．（2023秋•南开区期末）如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为 （宽不大于长，面积为 ．
（Ⅰ）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（Ⅱ）请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时的值；
（Ⅲ）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由．
【变式1】．（2022秋•龙岩期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏，菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
【变式2】．（2023•淮阴区一模）如图，中，，，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．
知识点2.最大利润问题（难点）
求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．
这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．
【例2】．（2023秋•鼓楼区校级月考）一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量（件与售价（元成一次函数关系．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
【变式】．（2023•宿迁）某商场销售、两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
（1）求、两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【方法二】实例探索法
题型1.运动中的二次函数问题
1．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
2．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
题型2.二次函数与建筑问题
3．（2022秋•姜堰区期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为，拱高，每隔有一根立柱．
（1）该钢架可以看作一个二次函数的图象，如图2所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；
（2）求制作图2中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．
4．（2023秋•新城区校级期中）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到
题型3.分段函数问题
5．（2023秋•西山区校级月考）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，对称轴与轴交于点，抛物线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）若点为抛物线上不与，重合的点，且，求证：，，三点共线；
（3）当时，二次函数的最大值为，最小值为，并且满足，求的值．
题型4.动点问题
6．（2023•靖江市模拟）我们将抛物线，且与抛物线称之为“轮换抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组轮换抛物线．已知抛物线，其轮换抛物线记作．
（1）若与交于轴上的同一点，求的值；
（2）在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作点，若将点绕点顺时针旋转后，的对应点恰好落在抛物线的图象上，求出此时的值；
（3）小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册页《数学实验室》介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线及其轮换抛物线的图象，与与轴的交点分别记作、、两点不重合）．小明发现，不论、为何值时，两抛物线始终有一交点点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若，记，求的最大值．
7．（2023•姜堰区一模）【项目式学习】如图，抛物线与轴分别交于、两点、分别在原点左右两侧），与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式：
（1）设，，．
①若点的横坐标为3，计算： ， ；
比较大小： （填“”、“ ”或“” ．
②若点的横坐标为，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
小明在研究该问题时发现：当、两点的横坐标为、时，将抛物线解析式变形为，研究此问题更加方便．
请借助小明的发现验证你的猜想．
（2）请利用上述解决问题的经验，解决项目式学习中的问题；
（3）若，直接写出的取值范围．
8．（2023•武进区一模）已知：如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，点在线段上，点是位于、两点之间的抛物线上一点，，，且，求点的坐标．
9．（2023•梁溪区一模）如图，将二次函数的图象沿轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．函数的图象的顶点为，函数的图象的顶点为，和轴的交点为，（点位于点左侧）．
（1）求函数的解析式；
（2）从，，三点中任取两点和点构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）点是线段上的动点，是三边上的动点，是否存在以为斜边的，使的面积为面积的？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【方法三】差异对比法
易错点：混淆销售利润各量之间的关系而导致错误
10．（2023•洪泽区二模）某商店购入一批产品进行销售，进价为10元件，计划采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量件与售价元件满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价保持比线下每件少2元，且线上的月销量都是700件．当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋•浑江区期末）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 ．
A．8B．9C．10D．11
2．（2022秋•高碑店市期末）用总长为米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图2，则的值是
A．16B．12C．8D．4
3．（2022秋•东明县期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是
A．B．
C．D．
4．（2023秋•琼山区校级期中）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是
A．B．C．D．
5．（2023秋•西湖区校级月考）如图，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：具有的函数关系，下列解释正确的是
A．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是
B．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用
D．小球的飞行高度可以达到
6．（2023秋•西山区校级期中）某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
A．B．C．D．
7．（2023秋•南开区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系为，其中．有下列结论：
①当时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为时，运动时间为或；
③小球运动中的最大高度为；
④小球从抛出到落地需要．
其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023秋•朝阳区校级期中）如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中．
若当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．（2023秋•庐阳区校级月考）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为
A．6米B．5米C．4.5米D．4米
二．填空题（共6小题）
10．（2022秋•新化县期末）某商店从厂家以每件30元的价格购回一批商品，该商店可自行定价．若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的，如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为 元．
11．（2023•沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 ．
12．（2023秋•大东区期末）如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是 ．
13．（2023•谷城县模拟）飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行 米才能停下来．
14．（2023秋•宣化区期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，水面宽度减少 ．
15．（2023秋•长春期末）雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①，可以发现数学的研究对象一一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨、的交点．点为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，、两点之间的距离是4分米．分别延长、交抛物线于点、，则雨伞撑开时的最大直径的长为 分米．
三．解答题（共4小题）
16．（2023秋•双峰县期末）某店只销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加．
（1）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？
（2）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
17．（2022秋•丹江口市期末）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（351225），其中0≤x≤35．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？
（3）检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
18．（2023秋•红桥区期末）小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长．小红在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线为常数，的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线为常数）的一部分．
（Ⅰ）写出抛物线的顶点坐标，并求出，的值；
（Ⅱ）若小红在轴右侧、距离轴的位置上，且与点的垂直距离小于的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值；
（Ⅲ）若小红在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值（直接写出结果即可）．
19．（2023秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点是该抛物线上一点，其横坐标为．以为对角线作矩形，轴．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围为 ．
（3）设抛物线在矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求与之间的函数关系式．
（4）设这条抛物线的顶点为，的面积为．当时，直接写出的值．
（元件）
10
11
12
13
14
（件
900
850
800
750
700
5
0
0