初中数学8 圆内接正多边形一课一练

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倍速学习三种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.切线长定理
知识点2.圆内接正多边形
【方法二】 实例探索法
题型1.有关切线长定理的计算
题型2.圆内接正多边形边数的判断
题型3.计算边心距与边长
题型4.方程思想
题型5.新定义问题
题型6.规律探究题
【方法三】成果评定法
【学习目标】
了解切线长的概念。
掌握切线长定理，并能运用这一定理解决问题。
3.了解圆内接正多边形的概念。
4.掌握正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角之间的等量关系，并能运用这个等量关系解决具体题目。
【知识导图】
【倍速学习三种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
知识点2.圆内接正多边形
（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。
（2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。
（3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。
（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。
（5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

【例2】．（2022秋•嘉兴期末）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（ ）
A．15°B．30°C．15°或165°D．30°或150°
【方法二】实例探索法
题型1.有关切线长定理的计算
1．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
2．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
题型2.圆内接正多边形边数的判断
3．（2022秋·浙江丽水·九年级校考期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．

题型3.计算边心距与边长
4．如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距．
题型4.方程思想
5．（2023·浙江温州·校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ．
题型5.新定义问题
6．（2023·浙江金华·校联考三模）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．
(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆，
①若，则该正n边形的“接近度”等于 ．
②若，则该正n边形的“接近度”等于______．
③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．
(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？
题型6.规律探究题
7．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： ．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数式表示）
8．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
9．如图1、、3、…、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、…..、正边形…..的边、上的点，且，连接、．
（1）求图1中的度数；
（2）图中的度数是____________，图3中的度数是____________；
（3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）．
【方法三】 成果评定法
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•永善县期中）正六边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正六边形能与自身重合，则旋转角最小是
A．B．C．D．
2．（2023•怀化三模）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是
A．3B．4C．5D．6
3．（2023秋•五华区校级月考）如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为
A．9B．7C．11D．8
4．（2023秋•金乡县期中）如图，直线、、分别与相切于、、，且，若，，则的长等于
A．13B．12C．11D．10
5．（2023秋•南开区期末）如图，正五边形内接于，为上一点，连接，，则的度数为
A．B．C．D．
6．（2023秋•东港区校级期中）如图，，分别切与点，，切于点，分别交，于点，，若，则的周长是
A．B．C．D．
7．（2023秋•鹿城区校级期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结，，交于点，若，则的长为
A．B．C．D．
8．（2023秋•瑞安市期中）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为．图中阴影部分面积，则的值为
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋•沙河口区期中）如图，、、是的切线，、、为切点，如果，，则的长为 ．
10．（2023•青海一模）如图，与的边、、分别相切于点、、，如果，，，那么的长为 ．
11．（2023秋•林州市期中）如图，一圆内切于四边形，且，，则四边形的周长为 ．
12．（2023秋•赣榆区期末）如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则∠CFE的度数为 ．
13．（2023秋•滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 ．
14．（2023秋•西湖区期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 ．
15．（2023•明水县模拟）若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为 ．
16．（2023秋•浙江月考）如图，将边长为2的正五边形沿对角线折叠，使点落在正五边形内部的处，则的长等于 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2023秋•城西区校级月考）如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积．
18．（2023秋•富县期中）如图，点，分别是正五边形的边，上的点，连接，交于点，且．
（1）与全等吗？为什么？
（2）求的度数．
19．（2023秋•平山县期中）如图，正六边形内接于．
（1）若是上的动点，连接，，求的度数；
（2）已知的面积为．
①求的度数；
②求的半径．
20．（2023秋•河西区校级月考）如图，已知为的直径，，是的切线，，为切点，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的长（结果保留根号）．
21．（2023•丰顺县校级开学）如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
22．（2023秋•姑苏区校级月考）已知：如图中，，以为直径的交于，过作的切线交于点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．