湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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2.【答案】C
3．【答案】B
【解题思路】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B.
【解答过程】对于A：当c=0时，c2=0，若a>b，则ac2=bc2=0，故A错误；
对于B：因为ac2>bc2，所以c2≠0，即c2>0，所以a>b，故B正确；
对于C：当a=1，b=0，c=−1，d=−2时，满足a>b，c>d，但是ac对于D：当c=0时，a+cb+c=ab，故D错误.
4.【答案】C
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y = 1 -x，是一次函数，在 (0，1) 上单调递减，故A 错误； 对于B，y = x2 - 2x，是二次函数，在 (0，1) 上单调递减，故B 错误； 对于 C，y = x ，是幂函数，在 (0，1) 上单调递增，故 C 正确；
对于D，y = 是反比例函数，在 (0，1) 上单调递减，故D 错误.
故选：C .
5．【答案】C
【解题思路】根据幂函数的定义可得m2−m−1=1，再由单调性可得m>0，即可求解.
【解答过程】因为fx=m2−m−1xm是幂函数，
所以m2−m−1=1，解得m=2或−1，
又fx在0,+∞上单调递增，则m>0，∴m=2
6【答案】B
【分析】根据题意，分析龟兔赛跑中，乌龟和兔子运动图象的变化情况，排除 A、C、D，即 可得答案.
【解答】解：根据题意，乌龟始终匀速前进，其“路程 s 一时间 t”的图象为一条线段， 兔子中途休息了一会，其“路程 s 一时间 t”的图象先增，再水平，最后增加，
而最开始一段，兔子增加得快，最后乌龟先到大终点，排除 A、C、D .
7．【答案】B
【解题思路】由题意可知(a−1)x2−ax+a+1≥0恒成立，根据判别式即可求出.
【解答过程】(a−1)x2−ax+a+1≥0的解集为R,
即(a−1)x2−ax+a+1≥0恒成立，
当a=1时，即−x+2≥0，不符合题意，
当a≠1时，则a>1a2−4(a−1)(a+1)≤0’解得a≥233
综上所述，实数a的取值范围是a≥233.
8．【答案】D
【解析】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，
即函数的定义域为，
又由函数当时，单调递减，
则不等式可化为，
可得不等式组，解得，即不等式的解集为.
9.【答案】AD
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】解：对于A，，定义域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），解析式相同，是同一函数；
对于B，f（x）＝x2与g（x）＝（x+1）2＝x2+2x+1两个函数的定义域相同，解析式不同，不是同一函数；
对于C，，定义域为[0，+∞），g（x）＝|x|，定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
对于D，，定义域均为R，解析式相同，是同一函数，
10．【答案】AB
【解题思路】一元二次不等式的解集可判断AB：用a表示b,c代入可判断CD.
【解答过程】不等式ax2+bx+c>0的解集为−∞,−2∪3,+∞，
所以x=−2,3是ax2+bx+c=0的两个根，且a>0，故A正确；
对于B，所以−ba=−2+3=1,ca=−2×3=−6，
可得b=−a,c=−6a，
所以bx+c=−ax−6a=−ax+6>0，
所以不等式bx+c>0的解集是{x∣x<−6}，故B正确；
对于C，因为b=−a,c=−6a，a>0，
可得a+b+c=a−a−6a=−6a<0，故C错误；
对于D，因为cx2−bx+a=−6ax2+ax+a=−a6x2−x−1<0，
即解6x2−x−1>0，解得−∞,−13∪12,+∞，故D错误.
11.【答案】ABD
【详解】对于A，由图 1 和图 2 面积相等得 ab = (a+b( × d，所以d = ，故A 错误；
对于B，因为AF ⊥ BC，所以 × a × b = × AF， 所以 ，AE =
因为AE ≥ AF，所以 整理得
故B 错误；
对于 C，因为D 为斜边BC 的中点，所以AD =
因为AD ≥ AE，所以 整理得
故 C 正确；
对于D，因为AD ≥ AF，所以 整理得 a2 + b2 ≥ 2ab，
故D 错误.
12.【答案】4
图中阴影部分所表示的集合C=A∩B={1,2},所以C的子集有4个.
【答案】[-1,1]
根据函数奇偶性画出x<0时的图象
14．【答案】−∞,−13∪1,+∞.
【解题思路】先求得xy−x的最大值，由此列不等式来求得t的取值范围.
【解答过程】依题意，x>0,y>0,x+2y+xy−7=0，yx+2=7−x,y=7−xx+2>0，
解得0=−2x−18x+2+9=−2x+2−18x+2+13
=−2x+2+9x+2+13≤−2×2x+2⋅9x+2+13=1，
当且仅当x+2=9x+2，x=1时等号成立.
所以3t2−2t≥1,3t2−2t−1=t−13t+1≥0，
解得t≤−13或t≥1，即t的取值范围是−∞,−13∪1,+∞.
15.【解题思路】(1)把m=0代入得B＝{x｜－1＜x＜1}，化简A得A＝{x｜-1＜x＜4},再利用数轴进行集合的运算。
将充分性、必要性转化为集合间的包含关系，利用数轴列出关于m的不等式
【解答过程】解：(1)把m=0代入得B＝{x｜－1＜x＜1}，化简A得A＝{x｜-1＜x＜4},所以∁RB={x｜x≤－1或x≥ 1}，
所以A∩∁RB={x｜1≤x＜4}.---------------------------------------6分
（2）若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件则A⊆B且A≠B.--------8分
则m+1> 4，解得m>3,所以m得取值范围是{m｜m> 3}-------------------13分
16．【解题思路】（1）利用配凑法即可得函数解析式.
（2）利用待定系数法即可得到结论.
【解答过程】（1）fx+1=x+2x=x+12−1，
所以fx=x2−1x≥1.----------------------------------------6分
（2）由y=fx是一次函数，设fx=ax+b，a≠0，
则f[fx]=aax+b+b=a2x+ab+b=4x+3，-----------------10分
则a2=4，ab+b=3，解得a=2，b=1，或a=−2，b=−3，
所以fx=2x+1或f(x)=−2x−3.-------------------------------15分
17.【解题思路】（1）根据利润Lx=收入-总成本，即可求得Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数Lx的最大值，比较大小可得答案.
【解答过程】（1）由题意知利润Lx=收入-总成本，
所以利润
L(x)=5x×100−2000−C(x)=−10x2+400x−2000,0故2022年的利润Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为L(x)=−10x2+400x−2000,0（2）当0故当x=20时，L(x)max=2000；---------------------------------10分
当x≥40时，L(x)=−x−10000x+2500≤−2x⋅10000x+2500=2300,
当且仅当x=10000x， 即x=100时取得等号；-------------------------13分
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，
最大利润为2300万元．--------------------------------------------15分
18.【分析】(1) 根据题意给的函数解析式直接求解即可；
(2) 分类讨论当 a < 0、0 ≤a ≤ 3、3 < a ≤ 4 时，根据f(a) =1 求出对应的 a 值即可；
(3) 由函数解析式画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域.
解：
∴ f(3) = 32 - 2 × 3 = 3，f(4) =-2 × 4 + 9 = 1，f(1) = 1 - 2 =-1，
--------------------------4分
①当 a < 0 时，f = 1，∴ a = 1
②当 0 ≤a ≤ 3 时，f(a) = a2 - 2a = 1，解得 a = 1 ± 、2 ， 又 0 ≤a ≤ 3，∴ a = 1 +
③当 3 (3) 函数f(x) 的图象略
由图象知函数f(x) 的值域为 (-∞ , 3 ].------------17分
19．【分析】（1）令a＝b＝1，可得f（1）的值；令a＝b＝2，可得f（4）的值；再令a＝4，b＝，可得f（）的值；
（2）由单调性的定义和条件①②可得证明；
（3）原不等式化为f（4x2+4）+f（）＝f（x2+1）＜f（ax）在x∈[2，3]恒成立，再由参数分离和对勾函数的单调性可得所求取值范围．
【解答】解：（1）令a＝b＝1，可得2f（1）＝f（1），解得f（1）＝0；
令a＝b＝2，又f（2）＝﹣1，可得f（4）＝2f（2）＝﹣2，
令a＝4，b＝，可得f（4）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（4）＝2；-------------------------------------------------------4分
（2）证明：设任意x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
可得＞1，即有f（）＜0，
则f（x2）＝f（x1•）＝f（x1）+f（）＜f（x1），，所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；------------------------------------------10分
（3）若对∀x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）即为f（4x2+4）+f（）＝f（x2+1）＜f（ax）恒成立．
由（2）可得x2+1＞ax对x∈[2，3]恒成立，即为a＜（x+）min．
而y＝x+在[2，3]单调递增，可得x＝2时，y取得最小值．
所以0＜a＜．----------------------------------------------17分
【点评】本题考查函数的单调性的判断和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．