北京市大峪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一､选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 若，则集合A中的元素个数是（ ）
A. 1个B. 2个
C 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据定义直接得到答案.
【详解】中的元素个数是2
故选：B
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定为：“”.
故选：B.
3. 已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小.
【详解】由，得，则；
，则；
，则，
所以这四个实数中的最大者是.
故选：C
4. “”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先解不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】由，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
判断函数的零点个数至少有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得.
【详解】在上的函数的图象是连续不断的，
由数表知，，
因此函数在区间上分别至少有1个零点，
所以函数的零点个数至少为3个.
故选：C
6. 已知函数，若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值
【详解】当时，得：，不符合题意，故舍去；
当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去；
当时，得：，解得：或，
由于，故得：.
故选：C
7. 若函数偶函数，且，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质判断即得.
【详解】函数是偶函数，，
所以，BCD错误，A正确.
故选：A
8. 函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 以上关系均不确定
【答案】A
【解析】
【分析】先判断和的大小关系，再根据函数的单调性得出结论.
【详解】对进行变形可得.
因为任何数的平方都大于等于，那么，即.
因为函数在上是减函数，且.
根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以.
故选：A.
9. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
故选：D
10. 对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（ ）
A. ，
B. ，
C. 函数的值域为
D. 若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5
【答案】C
【解析】
【分析】根据取整函数的定义得，再利用不等式的性质即可判断各命题的真假.
【详解】对于取，则，显然满足，故是真命题；
对于，当为整数时，，
当不为整数时，，且，故，故是假命题；
对于，因为，记，则，，
当时，，
则；
当时，，
所以；
综上：，，故是真命题；
对于，若，使得同时成立，
则，，，，，，
因为，若，则不存在同时满足，．
只有时，存在满足题意，故是真命题，
故选：
二､填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11. 已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表：
（1）__________；（2）不等式的解集为__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】利用给定的对应数据，求出及不等式的解集.
【详解】（1）依题意，；
（2）依题意，，而，
所以不等式的解集为.
故答案为：2；
12. 已知函数__________；__________．
【答案】 ①. 3 ②. 1
【解析】
【分析】运用分段函数求值方法计算即可.
【详解】，.
故答案为：3；1.
13. 方程的两根为，，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】
由韦达定理求得，代入计算．
详解】由题意，，
所以
故答案为：4．
14. 函数在上不单调，则实数a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得对称轴满足，求出即可.
【详解】可得的对称轴为，
在上不单调，则，解得.
故答案为：.
15. 表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中：①函数的值域为；②方程有无数个解；③函数的图象是一条直线；④函数是上的增函数；正确的有__________．（只填序号）
【答案】①②
【解析】
【分析】由周期定义得到函数的周期，再画出函数的图象，逐一判断各个选项即可.
【详解】函数的定义域为，而，
则函数是周期为1的周期函数，
当时，，因此函数的值域是，①正确；
，，
则是方程的解，有无数个，②正确；
函数的图象如图，
观察图象知，函数的图象不是一条直线，在上不是增函数，③④错误.
故答案为：①②
三､解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
16. 求下列不等式的解集．
（1）；
（2）．
（3）
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式.
（2）利用公式法解含绝对值符号的不等式.
（3）化不等式右边为0，通分并转化成一元二次不等式求解.
【小问1详解】
不等式化为：，即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
不等式化为：，则，解得，
所以原不等式的解集为.
【小问3详解】
不等式化为，即，则，
解得或，
所以原不等式的解集为.
17. 已知集合， .
（1）求;
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）a>3.
【解析】
【分析】（1）先化简集合B，再利用集合的并集、补集和交集运算求解；
（2）根据，结合，利用数轴求解.
【详解】（1）因为集合，
所以，或，
或;
（2）因为，且，
所以a>3，
所以的取值范围是.
18. 已知y=fx是定义在R上的偶函数，当时，fx=x2−2x
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）画出y=fx简图；写出y=fx的单调递增区间，并写出的解集．（只需写出结果，不要证明单调性）．
【答案】（1），；
（2）；
（3）作图见解析，的增区间是，解集.
【解析】
【分析】（1）结合偶函数的性质代入求出函数值.
（2）利用偶函数的性质求出函数解析式.
（3）借助二次函数作出图象，再结合图象求出单调递增区间及不等式的解集.
【小问1详解】
当时，，则；
而函数是偶函数，则.
【小问2详解】
函数是定义在上的偶函数，当时，，
则当时，，
所以函数的解析式是.
【小问3详解】
由（2）知，
当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标，
当时，；当时，，
当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标，
当时，，于是函数的图象如下：
观察图象知，函数的增区间是；
不等式的解集为.
19. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.
（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果；
(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.
【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.
由题意可得：，，，
所以存储成本费，
若该化工厂每次订购300吨甲醇，
所以年存储成本费为；
(2)因为存储成本费，x>0，
所以，
当且仅当，即时，取等号；
所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.
20. 已知函数.
（1）当时，求关于x的不等式的解集；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.
（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.
（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数最值，可得实数a的范围.
【小问1详解】
当时，则，
由，得，
原不等式的解集为；
【小问2详解】
由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【小问3详解】
由即在上恒成立，得.
令，则，
当且仅当 ，即时取等号.
则，.故实数a的范围是
21. 已知集合为非空数集，定义：，
（1）若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；
（2）若集合，且，求证：
（3）若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）1349
【解析】
【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;
（2）根据集合相等的概念，能证明；
（3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.
【小问1详解】
，，
集合，集合.
【小问2详解】
，，且，
T中也只包含4个元素，即，
剩下的元素满足，
；
【小问3详解】
设集合满足题意，其中，
则
，
，
，由容斥原理，，
的最小元素为0，最大元素为，，
解得
实际上时满足题意，证明如下：
设，
则，
题意有，即，
m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多，
即时满足题意
综上，的最大值为1349.
【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解.
附加题
22. 已知，函数在区间上有两个不同零点，求的最小值．
【答案】11
【解析】
【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根的分布列出不等式组，再结合不等式的性质推理计算得最小值.
【详解】设函数在区间上的两个不同零点为，
则，且，而，
则，即，整理得，又，
于是，即，因此，，
当时，的两个零点都在区间上，
因此，当且仅当时取等号，
所以最小值为11.
【点睛】关键点点睛：利用一元二次方程根的分布列出不等式组，结合正整数运算结果进行放缩是求解的关键.1
2
3
4
5
6
136.1
15.6
10.9
1
2
3
4
3
2
1
2