北京市第八十中学2025届高三上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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班级____________姓名____________考号____________
（考试时间120分钟满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，，则（）
A. 0B. C. D.
3. 设则
A. B.
C. D.
4. 若且，则下列不等式中一定成立是（）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80
7. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（）
A. B. C. D.
8. 若在区间上单调递增，则可以是（）
A. B. C. D.
9. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则（）
A. 函数是最小正周期为的奇函数
B. 函数的对称轴为
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的最大值不大于2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为__________.
12. 在中，，P满足，则____________．
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
14. 设函数上恰有两个零点，则__________.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②当时，存在最小值；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．
16.
已知函数
（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；
（Ⅱ）若，求的值域.
17. 在中，.
（1）求大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①；
条件②；
条件③AB边上的高为.
18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）
19 已知函数．
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若，求函数在区间上的最大值；
（3）若在区间上恒成立，求a的最大值.
20. 设函数的图象在点处的切线方程为.若函数满足（为函数的定义域），当时恒成立，则称为函数的“点”，已知.
（1）若直线l斜率为，
（i）求及直线l的方程；
（ii）记，讨论函数的单调性；
（2）求证：函数有且只有一个“T点”.
21. 已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.
（1）当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由；
（2）当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由；
（3）当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98