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北京市师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试题（Word版附解析）
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这是一份北京市师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试题（Word版附解析），文件包含北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试卷Word版含解析docx、北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线x-y+1=0的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果向量，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是（ ）
①若，则与所成的角为30°；
②若与所成角为，则；
③若，则平面与所成的锐二面角为60°；
④若平面与所成的角为60°，则
A. ③B. ①③C. ②④D. ①③④
7. 若点与的中点为，则直线必定经过点（ ）
A. B. C. D.
8. 三棱锥中，两两垂直，，，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9. 三棱锥中，平面，，若，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
B. 存在点P，使平面AEF；
C. 若平面AEF，则线段长度的取值范围是；
D. 若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________．
12. 若，，为共面向量，则值为_________.
13. 正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________.
14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：
①直线与平面所成角为45°；
②二面角的余弦值为；
③点到平面的距离为定值；
④线段长度的取值范围是
其中所有正确结论的序号是____________
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知平行四边形的三个顶点分别为，，.
（1）求边CD所在直线的方程；
（2）求四边形的面积.
17. 在中，，，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件.
（1）求的值；
（2）求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
18. 已知三棱锥，平面平面，点D是的中点，，.
（1）求证：；
（2）求直线DB与平面所成角的正弦值；
（3）求点C到平面的距离.
19. 在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.
（1）当时，求证：；
（2）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知正方体，点分别为的中点，直线交平面于点.
（1）证明：为中点；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）若点为棱上一点，二面角的余弦值为，求的值.
21. 对于向量，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）.
（1）当时，直接写出向量；
（2）证明：对于，向量中的三个实数至多有一个为0；
（3）若，证明：，.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线x-y+1=0的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 如果向量，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是（ ）
①若，则与所成的角为30°；
②若与所成角为，则；
③若，则平面与所成的锐二面角为60°；
④若平面与所成的角为60°，则
A. ③B. ①③C. ②④D. ①③④
7. 若点与的中点为，则直线必定经过点（ ）
A. B. C. D.
8. 三棱锥中，两两垂直，，，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9. 三棱锥中，平面，，若，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
B. 存在点P，使平面AEF；
C. 若平面AEF，则线段长度的取值范围是；
D. 若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________．
12. 若，，为共面向量，则值为_________.
13. 正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________.
14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：
①直线与平面所成角为45°；
②二面角的余弦值为；
③点到平面的距离为定值；
④线段长度的取值范围是
其中所有正确结论的序号是____________
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知平行四边形的三个顶点分别为，，.
（1）求边CD所在直线的方程；
（2）求四边形的面积.
17. 在中，，，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件.
（1）求的值；
（2）求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
18. 已知三棱锥，平面平面，点D是的中点，，.
（1）求证：；
（2）求直线DB与平面所成角的正弦值；
（3）求点C到平面的距离.
19. 在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.
（1）当时，求证：；
（2）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知正方体，点分别为的中点，直线交平面于点.
（1）证明：为中点；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）若点为棱上一点，二面角的余弦值为，求的值.
21. 对于向量，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）.
（1）当时，直接写出向量；
（2）证明：对于，向量中的三个实数至多有一个为0；
（3）若，证明：，.
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