江苏省徐州市邳州市2023-2024学年九年级上学期期中抽测数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省徐州市邳州市2023-2024学年九年级上学期期中抽测数学试卷（含答案解析），共23页。

1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。
2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效，考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．方程x2=4的根是（）
A．x=2B．x=-2C．x1=0，x2=2D．x1=2，x2=-2
2．用配方法解一元二次方程x2-4x-1=0，配方后得到的方程式（）
A．（x-2）2=1B．（x-2）2=4C．（x-2）2=3D．（x-2）2=5
3．若x1、x2是一元二次方程x2-3x-4=0的两个根，则x1.x2的值是（ ）
A．3B．-3C．4D．-4
4．⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
5．若二次函数y＝ax2的图象经过点（1，﹣2），则它也经过（）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（2，1）
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为（）
A．27°B．108°C．116°D．128°
7．如图，正六边形中，面积为4，则正六边形的面积是（）
A．8B．C．D．
8．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
A．且B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．一元二次方程的解是_______．
10．二次函数图像的顶点坐标是______．
11．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．
12．已知二次函数的图象经过点．当时，y随x的增大而______．（填“增大”或“减小”）
13．如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为___________．
14．如图是二次函数部分图象，由图象可知方程的解是________．
15．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则________°．
16．已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题-卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
（1）．（2）．
18已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
19．如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为：CD为圆O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.
20．下表给出了变量x与、之间的部分对应关系（表格中的符号“▲”表示该项数据已经丢失）：
（1）求函数的表达式并画出它的图像；
（2）结合图像回答问题：当x的取值范围是______时，？
（3）将函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后函数的表达式为______．
21．实践操作：如图，在中，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作∠BCA的角平分线，交AB于点O；
（2）以O为圆心，OB为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，
（3）AC与⊙O的位置关系是（直接写出答案）；
（4）若BC=6，AB=8，求⊙O的半径．
22．如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
23．在2023年9月23日至10月8日的杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物“琮琮、宸宸和莲莲”套装深受广大人民的喜爱．某特许零售店“琮琮、宸宸和莲莲”套装纪念品的销售8益火爆．该零售店销售该套装纪念品一段时间后，发现该套装纪念品的每天销售量y（单位：套）和每套纪念品的售价x（单位：元）满足一次函数关系的图像如图所示，其中．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若该套装纪念品的进价为每套40元，该特许零售店如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
24．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是该图象的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D，且．
①当的面积等于面积时，求m的值；
②当为直角三角形时，点P的坐标为______．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴、x轴上的两个定点，经过A、B两点且与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于D、C两点，过点O作于点E，交于点F．
（1）若，则______°；
（2）求证：点F是的中点；
（3）若、，其中a、b是方程的两个根，连接，当圆心M运动时，的长度是否发生变化？若不变，求出的长度；若变化，求出MF的取值范围．
x
0
1
▲
▲
1
8
3
▲
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．D
【解析】本题考查了一元二次方程的解，直接开方即可求解．
【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，即x1=2，x2=-2，故选：D．
2．D
【解析】解题时首先进行移项，变形成x2-4x=1，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，，∴x2-4x+4=1+4，∴（x-2）2=5，故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．D
【解析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】解：，
，
根据根与系数的关系得到．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
4．A
【解析】
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【详解】解⊙O的半径为3cm，点P在⊙O内，
∴OP＜3cm．
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
5．A
【解析】
【分析】先根据题意求出的值，然后逐项分析判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点（1，﹣2），
∴将（1，﹣2）代入得：，
∴二次函数的解析式为：，
当时，，即原函数图象经过点（﹣1，﹣2），
当时，，即原函数图象经过点（2，﹣8），
当时，，即原函数图象经过点（1，﹣2），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握函数图象上点坐标的特征，准确求解函数解析式是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理即可得．
详解】解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7．C
【解析】
【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键．
【详解】如图所示：将三角形分割为，补到位置．
，
故选：C．
8．A
【解析】
【详解】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点，
∴，且，
解得，b<1且b≠0.
故选A.
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
所以，．
故答案为：，．
10．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，根据二次函数的顶点式解析式写出即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：．
11．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据已知可得，整体代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴
故答案为：．
12．增大
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，注意数形结合．首先求得的值，再求得对称轴，根据开口方向及对称轴即可完成．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
13．
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
∴侧面展开图扇形的圆心角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥侧面展开图的相关知识是解题的关键．
14．，##，
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴，
∵与x轴的一个交点横坐标是，
∴设与x轴的另外一个交点横坐标是
∴，
解得：，
∴方程的解是：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．
15．66
【解析】
【分析】连接，则有，然后可得，则，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是的直径，且是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：66．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关系是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】先求得的坐标，勾股定理求得的长，设抛物线与轴负半轴的交点为，连接交于点，当与点重合时，取得最小值，则取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图所示，抛物线与轴负半轴的交点为，连接交于点，
由当时，，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴当与点重合时，取得最小值，则取得最小值，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了的抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，中位线的性质，一点到圆的距离最值问题，得出当与点重合时，取得最小值，则取得最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题-卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：移项，得，
配方，得，
即，
直接开平方，得，
，．
【小问2详解】
移项，得，
因式分解，得，
或，
，．
18．（1）k＜6；（2）k=5 ．
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式大于0，即可得出结论；
（2）利用上题的结果及题中要求的k为大于3的整数，限定k的取值，代入此方程中，解方程，求出满足方程的根都是整数的k值．
【详解】（1）因为若方程有两个不相等的实数根，
则Δ=b2-4ac=36-4（k+3）>0，
整理：24-4k>0，
解得：k＜6，
所以k的取值范围为k＜6；
（2）因为k＜6，且k为大于3的整数，
所以k可以为4或5，
当k=4时，原方程，无整数解，故舍去，
当k=5时，原方程为，解为，符合题意，
所以k=5．
所以k的值为5．
考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．
19．26
【解析】
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
连接OA，则OA=x寸，根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故答案为26寸
【点睛】此题是一道古代问题，其实质是考查垂径定理和勾股定理．
20．
（1），见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式与二次函数图像和性质，二次函数的图像变换．
（1）通过表格信息即可求解，作图需注意用光滑的曲线连接．
（2）即函数图像在x轴下方．
（3）二次函数平移变换要熟记“左加右减，上加下减”．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，的值是8，当时，的值是3
，
，，函数的表达式为
此函数的顶点坐标为，对称轴为经过且平行于y轴的直线．
列表：
描点、连线：
【小问2详解】
当时，由二次函数函数图像可知：
自变量取值范围是：
【小问3详解】
，
函数图像向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，即
，
．
21．（1）（2）图略（3）AC与⊙O位置关系相切（4）⊙O的半径是3．
【解析】
【详解】试题分析：（1）（2）按要求作图；（3）由图可得；（4）过点O连接AC与⊙O的切点E，在中，BC=6，AB=8，∠ABC=90°，求出AC的长度；根据CB是⊙O的切线得，CE=CB，求CE的长度；由AE＝AC－CE求出AE的长度；设BO=x，则EO=x，AO=6-x，在Rt△AOE中，根据AE2+EO2=AO2，列出方程，求出x的值，即为⊙O的半径；
试题解析：
（1）如图所示：CO即为所求；
（2）如图所示：⊙O即为所求；
（3）AC与⊙O的位置关系是：相切；
（4）过点O连接AC与⊙O的切点E，
∵BC=6，AB=8，∠ABC=90°，
∴AC=10，
∵CB是⊙O的切线，切点为B，
∴CE=CB=6，
又∵AC＝AE+CE，
∴AE=AC－CE＝10-6=4，
设BO=x，则EO=x，AO=6-x，
在Rt△AOE中，
AE2+EO2=AO2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴⊙O的半径为3．
22．当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【解析】
【分析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（1）
（2）当售价为每套52元时，每天获得的利润最大，最大利润为2640元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用；
（1）根据待定系数法求解析式即可求解；
（2）设每天获得的利润为W元．则，进而根据二次函数的性质，自变量的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为
时，；时，
解得：
y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：设每天获得的利润为W元．
则
，
当时w随着x的增大而增大
当时，W有最大值，
W的最大值（元）
答：当售价为每套52元时，每天获得的利润最大，最大利润为2640元．
24．（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）将点、坐标代入即可；
（2）①由解析式可得二次函数顶点坐标为，可得的解析式为，可得，可得，令求得，进而求得，根据的面积等于的面积，列方程求解即可；
②分情况讨论，当时，推出，则点的纵坐标为3，即可求出点的坐标；当时，证，可得，利用其性质可得，进而得关于的方程，求解，即可写出点的坐标；当时，不存在点，即可求解．
【小问1详解】
解：、是函数与x轴、y轴的交点，
，解得：，
二次函数关系为．
【小问2详解】
①．
图像的顶点，对称轴是经过且平行于y轴的直线
设的解析式为
则，解得：
的解析式为，
点P在线段上，轴于D，，
，
，
在，中，设，则，
解得：，，
，
，
，
的面积等于的面积，
，即，
解得：，，
，
（舍去），
，
②存在，理由如下：
如图，当时，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，将代入直线，得，
∴；
如图，当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得（舍去），，
当时，，
∴；
当时，
∵轴，
∴不存在点；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与面积问题以及直角三角形的存在性与动点结合，相似三角形的判定及性质等，解题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
25．（1）
（2）见解析（3）的长度不变，
【解析】
【分析】1）利用角度等量代换得到，由同弧所对的圆周角相等即可求解．
（2）利用角度等量代换得到两个等腰三角形即可求解．
（3）过M作圆的直径，由直径所对的圆周角等于得出，圆周角相等即所对的弦也相等，解一元二次方程求出A、B坐标即可知线段的长，最后利用中位线的性质即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
故．
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，，
，，
同理：，，
F点是的中点．
【小问3详解】
如图：过作直径，连接，
点F是中点，M点是中点，，
是圆M的直径，，
，，
，，
，，
解方程得，，，
由题意可知：，，
，，
．
当圆心M运动时，的长度不变，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程，中位线的性质，勾股定理等，熟悉圆中各种的基本性质是解题关键．x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
8
3
0
0
3
8
…