初中数学人教版（2024）七年级下册6.3 实数优秀课堂检测

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册6.3 实数优秀课堂检测，文件包含人教版数学七年级下册同步讲义+练习第六章第03讲实数6个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固原卷版docx、人教版数学七年级下册同步讲义+练习第六章第03讲实数6个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。


知识点01 无理数的概念及其形式
无理数的概念：
无限不循环小数叫做无理数。
无理数的三种形式：
①含有 根号 ，且被开方数开方 开不尽 。
②π以及化简后含有π的数。
③具有特定结构的数。如
【即学即练1】
1．下列各数：，，0，，﹣3.14，，2.101101110…（每两个0之间依次多一个1），其中是无理数的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据无理数的定义判断即可．定义：无限不循环小数叫做无理数．
【解答】解：，
在实数，，0，，﹣3.14，，2.101101110…（每两个0之间依次多一个1）中，无理数有，，2.101101110…（每两个0之间依次多一个1），共3个．
故选：A．
知识点02 实数的概念及其分类
实数的概念：
有理数 与 无理数 统称为实数。
实数的分类：
①按定义分类： ②按性质分类：


【即学即练1】
2．把下列各数填入相应的横线内：0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），．
无理数：{ …}；
整数：{ …}；
分数：{ …}；
实数：{ …}．
【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果．
【解答】解：无理数：{，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}；
整数：{0，﹣9，，…}；
分数：{0.，﹣6.8，，80%…}；
实数：{0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），…}．
故答案为：，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，﹣9，，；0.，﹣6.8，，80%；0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），．
知识点03 实数与数轴
实数与数轴的关系：
实数与数轴上的点是 一一对应 关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。
【即学即练1】
3．在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点OD．点P
【分析】估算在哪两个连续的整数之间，即可解决问题．
【解答】解：∵4＜6＜9，
同时开算术平方根得，，
同时乘﹣1得，．
即在数轴上对应的点为点M．
故选：A．
知识点04 实数的相关概念及其性质
相反数：
只有 符号不同 的两个数互为相反数。实数的相反数是 。
若与互为相反数，则 0 。
绝对值：
实数到原点的距离用 || 来表示。
；
①任意实数的绝对值都是一个 非负数 ，即|| ≥ 0；
②互为相反数的两个数绝对值 相等 。
倒数：
是数的倒数为 。
若与互为倒数，则 1 。
【即学即练1】
4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
（1）； （2）； （3）．
【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案；
（3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案．
【解答】解：（1）的相反数是﹣，倒数是，绝对值是；
（2）﹣的相反数是，倒数是﹣，绝对值是；
（3）＝的相反数是﹣，倒数是，绝对值是．
知识点05 实数的大小比较
估算法：
先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。
作差法比较：
对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则 ；
②若，则 ；
①若，则 ；
平方法比较：
两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数 越大 。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而 越小 。
其他比较方法：
参照有理数的大小比较方法。
【即学即练1】
5．已知a＝3，b＝2，c＝，将其按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜a＜b
【分析】根据算术平方根的定义先把a、b、c进行整理，再根据实数大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝3＝，b＝2＝，c＝＝，
∴b＜c＜a；
故选：A．
知识点06 实数的运算
实数的运算法则：
在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。
【即学即练1】
6．计算：
（1）；
（2）；
（3）﹣32﹣；
（4）．
【分析】（1）根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可；
（2）根据乘法分配律，求出算式的值即可；
（3）首先计算乘方、开平方和开立方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可；
（4）根据乘法分配律，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝[（﹣2）+（+）]+（﹣1+2）
＝（﹣2）+1
＝﹣1．
（2）
＝×（﹣20）+（﹣）×（﹣20）+×（﹣20）
＝﹣10+15+（﹣16）
＝﹣11．
（3）﹣32﹣
＝﹣9﹣（﹣2）×8
＝﹣9﹣（﹣16）
＝﹣9+16
＝7．
（4）
＝（﹣3.59）×（﹣）﹣2.41×（﹣）+（﹣）×（﹣1）
＝（﹣）×[（﹣3.59）﹣2.41+（﹣1）]
＝（﹣）×（﹣7）
＝4．
题型01 判断无理数
【典例1】下列实数中，无理数是（ ）
A．0B．C．﹣D．2019
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A.0是有理数，故本选项不符合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C．﹣＝﹣3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.2019是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】在实数，1.732，π，，，，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数逐一分析即可．
【解答】解：∵，
∴在，1.732，π，，，，2.123122312223⋅⋅⋅（1和3之间的2逐次加1个）中，属于无理数的有，π，，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）共4个．
故选：B．
题型02 对实数进行分类
【典例1】在π，，，3.1415926，，3.212112…（每两个2之间依次多一个1）中，属于有理数的有（ ）
A．6个B．4个C．3个D．2个
【分析】整数和分数统称为有理数，据此即可求得答案．
【解答】解：，3.1415926是分数，它们均为有理数，
则有理数共2个，
故选：D．
【变式1】在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ⑥⑧ ；无理数有 ①⑤⑦ .（填写序号）
【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案．
【解答】解：非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦；
故答案为：⑥⑧；①⑤⑦．
【变式2】将下列各数填入相应的括号里：
﹣2.5，5，0，8，﹣2，，0.7，﹣，﹣1.121121112…，，﹣0.．
正数集合{ …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【分析】根据实数的分类即可求出答案．
【解答】解：正数集合：（5，8，，0.7，，…）
整数集合：（0，8，﹣2，…）
有理数集合：（﹣2.5，5，0，8，﹣2，0.7，﹣，，﹣0.，…）
无理数集合：（，﹣1.121121112…，…），
故答案为：5，8，，0.7，；
0，8，﹣2；
﹣2.5，5，0，8，﹣2，0.7，﹣，，﹣0.；
，﹣1.121121112…．
题型03 实数的性质
【典例1】实数2023的相反数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．±2023D．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：实数2023的相反数是﹣2023．
故选：B．
【变式1】的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可得出答案．
【解答】解：∵﹣（2﹣）＝﹣2，
∴2﹣的相反数是﹣2，
故选：B．
【变式2】下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与B．﹣2与
C．﹣2与D．2与|﹣2|
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、＝2，﹣2与是互为相反数，故本选项正确；
B、＝﹣2，﹣2与相等，不是互为相反数，故本选项错误；
C、﹣2与﹣是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；
D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．
故选：A．
【变式3】若2a+1和2﹣a的立方根互为相反数，则a＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用立方根的性质结合互为相反数的定义得出答案．
【解答】解：∵2a+1和2﹣a的立方根互为相反数，
∴2a+1和2﹣a也是互为相反数，
∴2a+1+2﹣a＝0，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【变式4】已知与互为相反数，求的值 8 ．
【分析】直接利用相反数的定义得出x的值，进而代入计算得出答案．
【解答】解：由题意可知：1﹣2x+3x﹣7＝0，
解得：x＝6．
则＝＝＝8．
故答案为：8．
【例题2】实数﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．C．2D．
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：C．
【变式1】1﹣的绝对值是（ ）
A．1﹣B．﹣1C．1+D．±（1﹣）
【分析】直接利用绝对值的定义分别分析得出答案．
【解答】解：1﹣的绝对值是﹣1．
故选：B．
【变式2】已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e绝对值为2，求的值．
【分析】根据相反数、倒数的定义和绝对值的性质得到ab＝1，c+d＝0，e＝±2，进而代值求解即可．
【解答】解：由题意可知ab＝1，c+d＝0，|e|＝2，
则e＝±2，
当e＝2时，原式＝，
当e＝﹣2时，原式＝，
∴原式为或．
题型04 实数的大小比较
【典例1】在4.1，，，﹣3绝对值最小的数是（ ）
A．4.1B．C．D．﹣3
【分析】|﹣|＝，|﹣3|＝3，然后比较各数的大小即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣3|＝3，
∴4.1＞＞3＞，
则绝对值最小的数是﹣，
故选：C
【变式1】2，，5三个数的大小关系是（ ）
A．5＜＜2B．＜5＜2C．2＜5＜D．＜2＜5
【分析】根据实数大小比较的方法即可求解．
【解答】解：2＝，
因为24＜25＜27，
所以＜5＜，
即2＜5＜．
故选：C．
【变式2】若实数a，b，c，d满足，则a，b，c，d这四个实数中最大的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【分析】根据题目所给等式进行依次变形，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵a﹣1＝b﹣，
∴b＝a﹣1+，
即b＞a，
∵a﹣1＝c+1，
∴a＝c+2，
∴a＞c，
∵c+1＝d+2，
∴c＝d+1，
即c＞d，
∴b＞a＞c＞d，
∴b最大．
故选：B．
【变式3】a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【分析】根据图示，可得：a＜0＜b，且﹣a＜b，据此把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∵﹣a＜b，
∴﹣b＜a，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b．
故选：B．
题型05 实数的运算
【典例1】化简的结果是（ ）
A．5﹣B．+1C．2+2D．2
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝2﹣+3
＝5﹣，
故选：A．
【变式1】计算：．
【分析】根据平方根与立方根的定义得到原式＝5﹣（﹣2）+2×，再进行乘法运算，然后进行实数的加法运算即可．
【解答】解：原式＝5﹣（﹣2）+2×
＝5+2+1
＝8．
【变式2】计算题
（1）|
（2）（﹣2）3×
【分析】（1）根据算术平方根、乘方、立方根、绝对值的意义进行计算即可；
（2）根据立方、算术平方根、立方根的意义化简后，再进行有理数混合运算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝﹣8×4+4﹣3
＝﹣32+4﹣3
＝﹣31．
题型06 实数的运算——新定义
【典例1】在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（ ）
A．2B．4C．8D．﹣8
【分析】首先根据a⊗b＝2a﹣b，可得：b⊗a＝2b﹣a；然后根据1﹣4b+2a＝17，求出2b﹣a的值即可．
【解答】解：∵a⊗b＝2a﹣b，
∴b⊗a＝2b﹣a，
∵代数式1﹣4b+2a的值是17，
∴1﹣4b+2a＝17，
∴4b﹣2a＝1﹣17＝﹣16，
∴2b﹣a＝﹣8，
∴b⊗a＝2b﹣a＝﹣8．
故选：D．
【变式1】在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那么x的值是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝46D．x＝﹣46
【分析】按照定义的新运算可得（x+2）2﹣25＝x2﹣25，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），
（x+2）2﹣25＝x2﹣25，
x2+4x+4﹣25＝x2﹣25，
x2+4x﹣x2＝﹣25+25﹣4，
4x＝﹣4，
x＝﹣1，
故选：A．
【变式2】对于任意的正数m，n，定义运算※：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A．2﹣4B．2C．2D．20
【分析】先利用定义的新运算将（3※2）×（8※12）化简，再进行计算即可．
【解答】解：∵m※n＝，
∴3※2＝﹣，8※12＝+＝2+2，
∴（3※2）×（8※12）＝（﹣）×（2+2）＝2，
故选：B．
【变式3】关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：a※b＝2a+，例如：2※1＝2×2+＝4．依据运算定义，若a※3b＝a+1，且（a+1）※（b﹣1）＝0，则2a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【分析】根据运算定义可得：，解方程即可得到，则问题随之得解．
【解答】解：∵a※3b＝a+1，（a+1）※（b﹣1）＝0，
∴根据运算定义可得：，
解得方程得：，
∴．
故选：C．
题型06 实数与数轴
【典例1】如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【分析】依据题意，分析被开方数的范围即可．
【解答】解：∵9＞7＞4，
∴＞＞，
∴3＞＞2．
综上，在数轴上表示实数的点可能是Q．
故选：B．
【变式1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，则式子|a+b|﹣|a﹣b|化简的结果是（ ）
A．2bB．﹣2bC．﹣2aD．﹣2a﹣2b
【分析】首先根据图示，可得：b＜0＜a，然后根据|a|＜|b|，可得：a＜﹣b，a﹣b＞0，再根据绝对值的含义和求法，化简式子|a+b|﹣|a﹣b|即可．
【解答】解：根据图示，可得：b＜0＜a，
∵|a|＜|b|，
∴a＜﹣b，a﹣b＞0，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣2a．
故选：C．
【变式2】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．a＞bB．a+b＜0C．|a|＞|b|D．|a|＜|b|
【分析】根据数轴可得a，b的大小及两数绝对值的大小，异号两数相加，和的符号是由绝对值较大的数决定的，据此进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，
那么a+b＞0，
则A、B、C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
【变式3】若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则|c﹣a|﹣|b+a|+|b﹣c|等于（ ）
A．﹣2cB．﹣a+2bC．﹣a﹣bD．a﹣2b
【分析】根据数轴得出a，b，c的符号并判断它们的绝对值大小，从而根据绝对值的意义可得答案．
【解答】解：由图知，c＜b＜0＜a，|b|＜|a|，
∴|c﹣a|﹣|b+a|+|b﹣c|
＝a﹣c﹣（a+b）+b﹣c
＝a﹣c﹣a﹣b+b﹣c
＝﹣2c．
故选：A．
【变式4】如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合（ ）
A．字母AB．字母BC．字母CD．字母D
【分析】正方形滚动一周的长度为4，从﹣2到2020共滚动2022，由2022÷4＝，即可作出判断．
【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴正方形的周长为4，
∴正方形滚动一周的长度为4，
∵正方形的起点在﹣2处，
∴2020﹣（﹣2）＝2022，
∵2022÷4＝，
∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合，
故选：C．
1．有下列实数：，，﹣0.89，3.141，，π，﹣0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），其中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：＝5，
在实数，，﹣0.89，3.141，，π，﹣0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，无理数有，π，﹣0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），共3个．
故选：C．
2．和数轴上的点是一一对应的数为（ ）
A．虚数B．有理数C．无理数D．实数
【分析】根据实数与数轴的关系得结论．
【解答】解：因为实数与数轴上的点建立了一一对应关系．
故选：D．
3．若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a+b＜0
【分析】由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，然后逐项判断即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a＜b，﹣a＞b，a+b＜0，
故选：D．
4．已知，且a，b是两个连续的整数，则a+b等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先根据夹逼原则得到，则a＝3，b＝4，据此代值计算即可．
【解答】解：∵9＜12＜16，
∴，即，
∵，且a，b是两个连续的整数，
∴a＝3，b＝4，
∴a+b＝3+4＝7，
故选：C．
5．下列说法中：①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.25≤x＜5.35；⑤绝对值等于本身的数是正数．其中正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据实数的分类及定义，实数与数轴的关系，近似数，绝对值的性质，实数的运算法则进行判断即可．
【解答】解：实数包括无理数和有理数，则①正确；
数轴上的点与实数一一对应，则②错误；
如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大，则③正确；
近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.295≤x＜5.305，则④错误；
绝对值等于本身的数是正数和0，则⑤错误；
综上，正确的个数是2个，
故选：A．
6．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣2和a﹣7．如图，在数轴上表示实数的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【分析】根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得2a﹣2+a﹣7＝0，x＝（2a﹣2）2，得出a＝3，x＝16表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
【解答】解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣2和a﹣7，
∴2a﹣2+a﹣7＝0，x＝（2a﹣2）2，
解得a＝3，x＝16，
∴，
∵23＝8，33＝27，
∴，即，
故选：B．
7．若a※b＝|﹣b|﹣（+b），则3※2的值为（ ）
A．4B．C．﹣4D．
【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解．
【解答】解：由a※b＝|﹣b|﹣（+b）可得：
3※2＝|﹣2|﹣（+2）
＝2﹣﹣﹣2
＝﹣2．
故选：D．
8．实数a、b的相反数分别为c、d，在数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，我们把A、D间的距离记为AD，B、C间的距离记为BC，则AD、BC的大小关系为（ ）
A．AD＜BCB．AD＝BCC．AD＞BCD．不能确定
【分析】两点之间的距离的综合应用，根据题意得出c＝﹣a，b＝﹣d，AD＝|a﹣d|，BC＝|b﹣c|，把c＝﹣a，b＝﹣d代入整理即可得出答案．
【解答】解：∵实数a、b的相反数分别为c、d，
∴c＝﹣a，b＝﹣d，
∵在数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，A、D间的距离记为AD，B、C间的距离记为BC，
∴AD＝|a﹣d|，BC＝|b﹣c|，
∴BC＝|b﹣c|＝|﹣d+a|＝|a﹣d|，
∴AD＝BC．
故选：B．
9．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别是0、1，若正方形ABCD绕顶点沿逆时针方向连续翻转，第一次翻转后点D所对应的数为﹣1，第二次翻转后点C所对应的数为﹣2，则翻转2023次后点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣2024
【分析】根据翻转规律以及在数轴上所对应的数进行解答即可．
【解答】解：由于2023÷4＝505…3，
根据翻折规律以及所对应的数可得以下规律：
所以第2023次翻转后，落在数轴最左侧的点是点B，此时点C在点B的右侧，
因此点C所对应的数是﹣2022，
故选：B．
10．设a，b为实数，定义@的一种运算如下：a@，则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@b＝b@a；③2a@2b＝2（a@b）；④a@（b+c）＝a@b+a@c，其中正确的是（ ）
A．③④B．②③C．①③D．②④
【分析】根据定义的新运算逐项判断即可．
【解答】解：a@b＝0，
则＝0，
那么a+b＝0，
则①错误；
a@b＝，b@a＝，
那么a@b＝b@a，
则②正确；
2a@2b＝＝a+b，2（a@b）＝2×＝a+b，
2a@2b＝2（a@b），
则③正确；
a@（b+c）＝，a@b+a@c＝+＝，
那么a@（b+c）≠a@b+a@c，
则④错误；
综上，正确的为②③，
故选：B．
11．写出一个比大比0小的整数 ﹣1或﹣2 ．
【分析】判断无理数的取值范围，直接求解即可．
【解答】解：因为，所以，
则比大比0小的整数有﹣1或﹣2．
故答案为：﹣1或﹣2均可．
12．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：＝ 2 ．
【分析】运用数轴上的点表示实数和平方根、立方根知识进行求解．
【解答】解：由题意得，0＜a＜2，
∴
＝a+2﹣a
＝2，
故答案为：2．
13．已知对任意实数x，y，定义运算：x♥y＝（x+y）（x﹣y），则3♥（4♥5）的值为 ﹣72 ．
【分析】根据x♥y＝（x+y）（x﹣y），用4与5的和乘它们的差，求出4♥5的值，进而求出3♥（4♥5）的值即可．
【解答】解：∵x♥y＝（x+y）（x﹣y），
∴3♥（4♥5）
＝3♥[（4+5）×（4﹣5）]
＝3♥[9×（﹣1）]
＝3♥（﹣9）
＝[3+（﹣9）]×[3﹣（﹣9）]
＝（﹣6）×12
＝﹣72．
故答案为：﹣72．
14．若x、y为实数，且满足|x﹣2|+＝0，则（x+y）2023的值是 ﹣1 ．
【分析】先运用非负数的性质求得x，y的值，再代入求解．
【解答】解：由题意得，
x﹣2＝0且y+3＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）2023
＝（2﹣3）2023
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝ ﹣12 ．
【分析】由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分＝3，小数部分为 ﹣3，
则（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（﹣3+3）2＝﹣27+15＝﹣12．
故答案为：﹣12．
16．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内：
﹣7，0.32，，46，0，﹣，，，﹣．
有理数集：{ ﹣7，0.32，，46，0， …}；
无理数集：{ ，， …}；
正实数集：{ 0.32，，46，， …}；
负实数集：{ ﹣7，﹣， …}．
【分析】根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．
【解答】解：，，，
有理数集：{﹣7，0.32，，46，0，…}；
无理数集：{，，…}；
正实数集：{0.32，，46，，…}；
负实数集：{﹣7，﹣，…}；
故答案为：﹣7，0.32，，46，0，；，，；0.32，，46，，；﹣7，﹣，．
17．计算：
（1）2+（﹣3）﹣（﹣5）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算乘方、开平方和开立方，然后计算乘法，最后计算加法，求出算式的值即可；
（3）首先计算乘方和小括号里面的减法，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）2+（﹣3）﹣（﹣5）
＝﹣1+5
＝4．
（2）
＝﹣2+5×4
＝﹣2+20
＝18．
（3）
＝﹣1+4×﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
18．如图，点M，N，H分别对应实数m，n，c，其中m为最大的负整数，n为最小的正整数，且满足c﹣|m|＝2|m﹣n|．
（1）求m2+n2﹣3mnc的值．
（2）若点G在数轴上表示的有理数为b，距离c两个单位长度，直接写出b的值．
【分析】（1）先分别求出m，n的值，得m﹣n＝﹣2，c＝5，再代入m2+n2﹣3mnc，即可作答；
（2）依题意，当点G在点H的左边或右边进行讨论，即可作答．
【解答】解：（1）由题知：m＝﹣1，n＝1，
则m﹣n＝﹣2，
∵c﹣|m|＝2|m﹣n|，
∴c﹣|﹣1|＝2×|﹣2|，
则c＝5，
那么m2+n2﹣3mnc＝（﹣1）2+12﹣3×（﹣1）×1×5＝1+1+15＝17；
（2）依题意，当点G在点H的左边时，且c＝5，
则5﹣2＝3，
当点G在点H的右边时，且c＝5，
则5+2＝7，
故b的值3或7．
19．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．
请解答：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是 ﹣3
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
【分析】（1）利用已知得出的取值范围，进而得出答案；
（2）首先得出，的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是：﹣3；
故答案为：3，﹣3；
（2）∵＜＜，
∴的小数部分为：a＝﹣2，
∵＜＜，
∴的整数部分为b＝6，
∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．
20．已知，a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）在数轴上标出﹣a、﹣b、﹣c的位置，并用“＜”号将a、b、c、﹣a、﹣b、﹣c连接起来．
（2）化简：|a+1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|c﹣2a|．
（3）若a+b+c＝0，且b与﹣1的距离和c与﹣1的距离相等，求2（b+2c）﹣a（a﹣1）﹣（c﹣b）的值．
【分析】（1）在数轴上标出﹣a、﹣b、﹣c的位置，即可用“＜”号将a、b、c、﹣a、﹣b、﹣c连接起来；
（2）判断a+1，c﹣b，b﹣1，c﹣2a的符号，再化简即可；
（3）求出a，b+c的值代入计算即可．
【解答】解：（1）在数轴上标出﹣a、﹣b、﹣c的位置如下：
因此，c＜﹣a＜﹣b＜b＜a＜﹣c；
（2）由各个数在数轴上的位置可知：a+1＞0，c﹣b＜0，b﹣1＜0，c﹣2a＜0，
∴|a+1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|c﹣2a|＝a+1﹣b+c﹣1+b﹣c+2a＝3a．
（3）∵b与﹣1的距离和c与﹣1的距离相等，
∴|b+1|＝|c+1|，即b+1＝﹣c﹣1，
∴b+c＝﹣2，
又∵a+b+c＝0，
∴a＝﹣b﹣c＝2，
∴2（b+2c）﹣a（a﹣1）﹣（c﹣b）
＝2b+4c﹣a2+a﹣c+b
＝﹣a2+a+3b+3c
＝﹣4+2+（﹣6）
＝﹣8．
课程标准
学习目标
①无理数的概念及其常见的形式
②实数的概念及其分类
③实数与数轴
④实数的性质
⑤实数的大小比较
⑥实数的运算
掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。
掌握无理数的概念及其分类，能够准确的进行分类。
掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。
掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。
掌握实数的大小比较方法，能够准确的判定实数的大小关系。
掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。