河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合M，判断Venn图表示集合，再利用集合运算即得结果.
【详解】由题意可知，，阴影部分用集合表示为， 而，故，.
故选：D.
【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，考查了Venn图，属于基础题.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由特称命题的否定为全称命题即可判断.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：C
3. 已知函数的值为（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由分段函数的性质直接计算即可；
【详解】因为，所以，
故选：D.
4. 已知，若，，，且，，，则的值（ ）
A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解即可.
【详解】因为，又，
所以是R上的奇函数，
又在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，
又因为，，，所以，
所以，
所以，
所以f(a)+f(c)+f(b)>−f(c)−f(b)−f(a),，
所以，
所以.
故选：A.
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由为偶函数，排除CD选项，由排除B选项.
【详解】函数定义域为R，，
偶函数，图象关于轴对称，CD选项错误；
，选项B错误.
故选：A
6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用举反例可判断，利用作差法可判断.
【详解】取，
则，，故错误；
，故错误；
，故错误；
又，
，
，
，即，故正确.
故选：.
7. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案.
【详解】设方程的两根为，则的解集为.
由题有.又，，
则，则的值不可能是16.
故选：D
8. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.
【详解】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意可得，又，解得，
所以；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据奇偶性与单调性的定义判断．
【详解】的定义域是，的定义域是，它们都没有奇偶性，
与都是奇函数，
上，递增，单调递增，
故选：BD．
10. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得命题为真的充要条件，然后根据集合包含关系与充分必要条件的关系判断．
【详解】，，则恒成立，而，所以，
所以BCD都是充分不必要条件．
故选：BCD．
11. 设为实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如，.称函数为取整函数，下列关于取整函数的结论中正确的是（ ）
A. 在上是单调递增函数
B. 对任意，都有
C 对任意，，都有
D. 对任意，，都有
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的定义，可得，即可求解BC，举反例即可求解AD.
【详解】对于A，，不是R上的单调递增函数，A错误；
对于B，由的定义，得，故对，x>x−1，故B正确；
对于C，对任意x∈R，，
不妨令，则，所以，
此时，故C正确；
对于D，取，则，，
不满足，故D错误，
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 用列举法表示______．
【答案】
【解析】
【分析】根据且求出的值，即可求出，从而列举即可.
【详解】解：因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
13. 函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则______；当时，函数的解析式为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据偶函数的性质计算可得.
【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，
所以，
设，则，所以，又f−x=fx，
所以，
即当时，函数的解析式为.
故答案为：；
14. 已知，为非负实数，且，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.
【详解】，为非负实数，且，结合目标式，有，，
，解得，，解得，
，
，
当且仅当即时等号成立，
故.
故答案：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得集合或，，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）由（1）求得，，根据集合并集的运算，即可求解.
【小问1详解】
解：由不等式，可得，解得或，
所以集合或，
又由集合，所以或.
【小问2详解】
解：集合或，，
可得，，
所以.
16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若为真命题，即对于，即可.
（2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出.
【小问1详解】
若为真命题，即，使得不等式成立，
则对于，即可.
由于,，则.
【小问2详解】
若为真命题，即，不等式成立，
则对于，即可.
由于，，，解得
p、q有且只有一个是真命题，则或，
解得.
17. 设函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义法证明在(0,+∞)上的单调性.
【答案】（1）（2）在上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由为奇函数，可得，解方程可得的值；
（2）判断在上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，用定义法证明即可.
【详解】解：因为为奇函数，所以，即
所以，解得.
在上单调递减，在(0,+∞)上单调递减.
证明:，
因为，所以，所以，所以.
即，所以在(0,+∞)上单调递减.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义与应用及函数单调性的证明，属于中档题.
18. 已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样．

（1）若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？
（2）若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？
【答案】（1）长为6米、宽为4米
（2）长为7米、宽为米
【解析】
【分析】（1）设每个小矩形花池的长、宽分别为米、米，由题意可得，再有基本不等式求解即可；
（2）由题意知，将其代入结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
设每个小矩形花池的长、宽分别为米、米，则每个花池的面积为平方米．
由题意可知，所以，
则，所以，
当且仅当，即，时取得等号．
故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大．
【小问2详解】
由题意知，则，
所以，
当且仅当，即，时取得等号，
故每个小矩形花池的长为7米、宽为米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小．
19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
（3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
【答案】（1）不具有，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于
证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明.
【小问1详解】
集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③
（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，
则有，即，不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
【小问2详解】
证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或（舍），
因为是偶数，所以集合，
令，解得，
显然，
所以集合是集合的“期待子集”得证.
【小问3详解】
证明：
先证充分性：
当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于，
不妨设，令，，，则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数，
令，，，则由条件①得，
由条件②得，
由条件③得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，
所以，
因为，
所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”.
综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义.