江苏淮安市凌桥中学2024-2025学年九上数学第7周阶段性训练模拟练习【含答案】

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A．28°B．30°C．31°D．36°
2．随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2020年全球装机总量约600GW，预计到2022年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864D．600（1+x）2＝864
3．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200⋅2⋅x＝1000
C．200+200⋅3⋅x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
4．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则AB长的最小值为（ ）
A．6B．8C．12D．16
5．如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝8，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
7．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝．以A为圆心，AD的长为半径做弧交BC边于点E，则图中的弧长是 ．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝ ．
9．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是 ．
11．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m+2019的值为 ．
12．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b＝，则方程3☆x＝x★12的解为 ．
13．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ．
三．解答题（共8小题）
15．商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
16．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD＝EC＝4，求⊙O的半径．
17．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少件？
18．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？
19．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
20．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
仿照上面方法，解方程：（x2+3x）2+4（x2+3x）+3＝0．
21．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（，0），直线OB是一次函数y＝x的图象，让⊙A沿x轴负方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t秒．
（1）直线OB与x轴所夹的锐角度数为 °；
（2）求出运动过程中⊙A与直线OB相切时的t的值；
（3）运动过程中，当⊙A与直线OB相交所得的弦长为1时，直接写出t＝ ．
22．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝ ，PB＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，
∴∠D＝∠AOC＝×62°＝31°．
故选：C．
2．【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600（1+x）2＝864，
故选：D．
3．【解答】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，
根据题意得：200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
4．【解答】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝6，MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝6，
∴AB＝2OP′＝12，
故选：C．
5．【解答】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，AB＝8，
∴AE＝PE，PF＝BF，
∴EF是△APB的中位线，
∴EF＝AB＝×8＝4．
故选：C．
6．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，
∴S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN＝×2×﹣＝﹣π．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
7．【解答】解：由题意得：AE＝AD＝，
由勾股定理得：BE＝＝1，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝45°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
8．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE＝70°，
∴∠BOD＝2∠A＝140°．
故答案为140°．
9．【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴AB＝OA＝6，
∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝＝2．
故答案为：2．
10．【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6，
故答案为：6．
11．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝2（2m2﹣3m）+2019＝2021．
故答案为：2021．
12．【解答】解：根据题中的新定义得：3☆x＝9+x2，x★12＝6x，
所求方程化为：9+x2＝6x，即（x﹣3）2＝0，
解得：x1＝x2＝3．
故答案为：x1＝x2＝3
13．【解答】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x）•（24﹣2x）＝480，
整理得：x2﹣22x+40＝0，
解得：x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30﹣3x＝﹣30，24﹣2x＝﹣16，不符合题意舍去，
即x＝2．
答：人行通道的宽度为2米．
故答案为：2．
14．【解答】解：如图，连接OD，
由翻折的性质可知，OB＝BD，
∴OB＝BD＝OD，
∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD
＝110°﹣60°
＝50°，
即弧AD的度数为50°，
故答案为：50°．
三．解答题（共8小题）
15．【解答】解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，
整理得：x2﹣30x+125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
当x＝5时，40﹣x＝35＞25，符合题意；
当x＝25时，40﹣x＝15＜25，不合题意，舍去．
答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．
16．【解答】（1）证明：连接OE，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
（2）解：过点O作OM⊥AC于M，
∴AM＝MD＝＝2；
又∠OEC＝∠ACE＝∠OMC＝90°，
∴四边形OECM为矩形，
∴OM＝EC＝4，
在Rt△AOM中，OA＝＝＝2；
即⊙O的半径为2．
17．【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
解得：x1＝40，x2＝70，
∵销售单价不低于成本价，且不高于60元，
∴x＝40，
∴y＝﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80（件）．
答：每天的销售量应为80件．
18．【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，AO＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°．
（2）∵CP与⊙A相切，
∴∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°﹣∠OAC＝30°；
又∵A（4，0），
∴AC＝AO＝4，
∴PA＝2AC＝8，
∴PO＝PA﹣OA＝8﹣4＝4．
（3）①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1；
∵OA是半径，
∴，
∴OC＝OQ1，
∴△OCQ1是等腰三角形；
又∵△AOC是等边三角形，
∴P1O＝OA＝2；
②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2；
∵A是圆心，
∴DQ2是OC的垂直平分线，
∴CQ2＝OQ2，
∴△OCQ2是等腰三角形；
过点Q2作Q2E⊥x轴于E，
在Rt△AQ2E中，
∵∠Q2AE＝∠OAD＝∠OAC＝30°，
∴Q2E＝AQ2＝2，AE＝2，
∴点Q2的坐标（4+，﹣2）；
在Rt△COP1中，
∵P1O＝2，∠AOC＝60°，
∴，
∴C点坐标（2，）；
设直线CQ2的关系式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴y＝﹣x+2+2；
当y＝0时，x＝2+2，
∴P2O＝2+2．
19．【解答】解：（1）20+2×4＝28（件）．
故答案为：28．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）元，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵40﹣x≥25，
∴x≤15，
∴x＝10．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
20．【解答】解：设x2+3x＝y，
则原方程可化为：y2+4y+3＝0，
解得：y1＝﹣1，y2＝﹣3，
∴x2+3x＝﹣1或x2+3x＝﹣3，
当x2+3x+1＝0时，
解得x1＝，x2＝；
当x2+3x+3＝0时，
此方程无实数根，
21．【解答】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点B在直线y＝x的图象上，
∴BC＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，即直线OB与x轴所夹的锐角度数为45°，
故答案为：45；
（2）如图2，当⊙A′与直线OB相切于点M时，A′M⊥OB，
∵∠MOA′＝45°，
∴OM＝A′M＝1，
∴OA′＝，
∴A′A＝3，
此时，t＝3，
当⊙A′′与直线OB相切于点N时，A′′N⊥OB，
同理可得，A′′A＝5，
此时，t＝5，
综上所述，⊙A与直线OB相切时，t的值为3或5；
（3）如图3，设⊙A′与直线OB交于点C、D，过点A′作A′E⊥OB于点E，
则CE＝DE＝，
∴A′E＝＝，
则OA′＝A′E＝，
∴A′A＝4﹣，
同理可得，A′′A＝4+，
综上所述，当⊙A与直线OB相交所得的弦长为1时，t的值为4﹣或4+，
故答案为：4﹣或4+．
22．【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP＝tcm，
∵AB＝5cm，
∴PB＝（5﹣t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ＝2tcm；
（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，
解得：t1＝0，t2＝2；
当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2），
（5﹣t）×2t×＝4，
解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1．
即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．