江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年九上数学第6周阶段性训练试题【含答案】

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A．k＞0B．k＞4C．k＜0D．k＜4
2．如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
4．若关于x的一元二次方程x2+x﹣3m+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．mB．mC．mD．m
二．填空题（共12小题）
5．如图，抛物线y＝x2﹣ax﹣（a+1）（其中a为常数）的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A，点B，则AB的长度为 ．
​
6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，∠BAC＝150°，AD⊥AB，若AC＝4，则BC＝ ．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，动点P在矩形ABCD内且∠APB＝120°，连接DP，则DP长度的最小值为 ．
​
8．若x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣6＝0的两个实根，则值是 ．
9．如图，MN与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，且AB＝1，∠BAN＝30°，则⊙O的半径长为 ．
10．如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，EC∥AB，EB∥DC，若△ABE面积为5，△ECD的面积为1，则△BCE的面积是 ．
11．在△ABC中，AB＝2，，则∠A度数的最大值为 °．
12．已知抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点．若2＜m＜3，则下列四个结论中正确的是 ．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①b＞0；②c＜0；③点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，x1+x2＝1，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根．
13．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为 ．
14．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ．
15．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与点B，C重合），过点C作CN⊥DM交AB于点N，连接OM、ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正确结论是 ；（只填序号）
16．已知数据x1+1，x2+2，x3+3的平均数是6，那么数据x1，x2，x3的平均数是 ．
三．解答题（共8小题）
17．一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为 ；
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
18．已知如图，抛物线y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接OE，CD．
（1）填空：∠OBC＝ °；
（2）设h＝OC﹣DE，请写出h关于m的函数表达式，并求出h的最大值；
（3）将△OCE沿点C到点D的方向平移，使得点C与点D重合．设点E的对应点为点E'，问点E'能否落在二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1的图象上？若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由．
19．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4的图象与x轴有唯一公共点．
（1）求a的值；
（2）当0≤x≤m时（m＞0），函数的最大值为4，且最小值为0，则实数m的取值范围是 ．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，连接DP交AC于点Q．
（1）求证：△DCQ∽△PAQ；
（2）若△ADQ是以AD为腰的等腰三角形，求运动时间t的值．
21．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
23．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
24．某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x（元/件）时，日销量为（200﹣x）件．
（1）写出用售价x（元/件）表示每日的销售利润y（元）的表达式．
（2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销量是多少件？
（3）当售价定为多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣k+4）＜0，
解得k＜0，
所以k的取值范围为k＜0．
故选：C．
2．【解答】解：连接OC，OD，过O作OE⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到ΔA'BC'，
∴∠ABC＝∠CBC'＝30°，
∴∠DOB＝60°，△BOD是等边三角形，
∴∠BOC＝120°，OD⊥BC，
∴Rt△OCF≌Rt△DBF（HL），
∴阴影部分的面积为：S扇COD＝＝，
故选：C．
3．【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣3m+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣3m+1）≥0，
解得：m≥
故选：C．
二．填空题（共12小题）
5．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣ax﹣（a+1）（其中a为常数）的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：a＝2，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4；
故答案为：4
6．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠E＝90°，
∴AD∥CE，
又∵D是BC的中点，
∴AD是△EBC的中线，
∴AD＝，BA＝AE，BC＝2BD，
∵∠BAC＝150°，
∴∠EAC＝30°，
∴CE＝，
∴AE＝CE＝2，
∴AD＝，BA＝AE＝2，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝2，
故答案为：2．
7．【解答】解：作△ABP的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥DA交DA的延长线于F，连接OA、OB、OD，OD交⊙O于点P′，
∵∠AP′B＝∠APB＝120°，
∴当B、P、D共线时，DP的长度最小为DP′的长，∠AOB＝120°，
∵OE⊥AB，AB＝2，
∴AE＝AB＝1，∠AOE＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝，OA＝，
∴⊙O的半径为，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∵OE⊥AB，OF⊥DA，
∴四边形AEOF是矩形，
∴OF＝AE＝1，AF＝OE＝，
∴DF＝AD+AF＝+＝，
∴OD＝＝＝，
∴DP′＝OD﹣OP′＝﹣＝，
即DP长度的最小值为．
故答案为：．
8．【解答】解：x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，
所以原式＝＝＝．
故答案为．
9．【解答】解：连接OA，OB，
∵MN与⊙O相切于点A，
∴∠OAN＝90°，
∵∠BAN＝30°，
∴∠OAB＝∠OAN﹣∠BAN＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵AB＝1，
∴r＝1，
故答案为：1．
10．【解答】解：∵EC∥AB，
∴∠A＝∠CED，
∵EB∥DC
∴∠AEB＝∠D，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，，
∵△ABE以AB为底边的高与△BCE以CE为底的高相等，
∴，
故答案为：
11．【解答】解：由题意可得，画出线段AB，以B为圆心BC为半径画圆即可得到，当C从AB与圆交点处开始运动时∠A逐渐增大，当AC与圆相切时最大，随后逐渐减小，
∴当AC⊥BC时，∠A度数的最大，
此时sinA＝＝，
∴∠A度数的最大值为45°，
故答案为：45．
12．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（m，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵2＜m＜3，
∴﹣1+m＞1，
∴b＜0，故①错误；
∵抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），
∴1﹣b+c＝0，
∴b＝c+1＜0，
∴c＜0，故②正确；
∵2＜m＜3，
∴1＜﹣1+m＜2，
∴，
即抛物线的对称轴位于直线x＝1的左侧，
∵x1＜x2，x1+x2＝1，
∴点N（x2，y2）距离对称轴比点M（x1，y1）远，
∵抛物线开口向上，
∴y1＞y2，故③正确；
∵，b＝c+1，
∴b＝1﹣m，c＝﹣m，
∵x2+bx+c+2＝0，
∴Δ＝b2﹣4（c+2）＝（1﹣m）2﹣4（﹣m+2）＝（m+1）2﹣8
∵2＜m＜3，
∴9＜（m+1）2＜16，
∴1＜（m+1）2﹣8＜8，
即Δ＞0，
关于x的一元二次方程x2+bx+c+2＝0必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④．
13．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴＝（）2＝，
∴＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2022，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2022﹣（﹣1）+1＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
15．【解答】解：①∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN+∠DCN＝90°，
∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
在△CNB和△DMC中，
∴△CNB≌△DMC（ASA），
故①正确；
②∵△CNB≌△DMC，
∴CM＝BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
在△OCM和△OBN中，，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，
故②正确；
③∵△OCM≌△OBN，
∴∠COM＝∠BON，
∴∠BOM+∠COM＝∠BOM+∠BON，即∠NOM＝∠BOC＝90°，
∴ON⊥OM；
故③正确；
④∵AB＝2，
∴S正方形ABCD＝4，
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，
∴△MNB的面积S＝x（2﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1﹣＝，
故④不正确；
⑤∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2，
故⑤正确；
∴本题正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
16．【解答】解：∵数据x1+1，x2+2，x3+3的平均数是6，
∴x1，x2，x3的平均数+（1+2+3）的平均数＝6，
∴x1，x2，x3的平均数+2＝6，
∴数据x1，x2，x3的平均数是4；
故答案为：4．
三．解答题（共8小题）
17．【解答】解：（1）∵球面上分别标有数字1、2、3，
∴搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这个两位数恰好是奇数的结果有4种，
∴这个两位数恰好是奇数的概率为＝．
18．【解答】解：（1）把y＝0代入y＝﹣x2+2mx+2m+1得：﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵m＞0，
∴2m+1＞0，
∴x2＞x1，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2m+1，0），
∴OB＝2m+1，
把x＝0代入y＝﹣x2+2mx+2m+1得：y＝2m+1，
∴点C的坐标为（0，2m+1），
∴OC＝2m+1，
∴OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴，
故答案为：45．
（2）抛物线的对称轴为直线，
把x＝m代入y＝﹣x2+2mx+2m+1得：y＝﹣m2+2m2+2m+1＝m2+2m+1，
∴点D（m，m2+2m+1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（2m+1，0），C（0，2m+1）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2m+1，
把x＝m代入得：y＝﹣m+2m+1＝m+1，
∴点E（m，m+1），
∴DE＝m2+2m+1﹣m﹣1＝m2+m，
∵h＝OC﹣DE，
∴h＝2m+1﹣（m2+m）＝﹣m2+m+1＝，
∴当时，h有最大值，且最大值为．
（3）∵C（0，2m+1），D（m，m2+2m+1），E（m，m+1），
∴根据平移可知，点E'的横坐标为：m+m＝2m，
点E'的纵坐标为：m+1+[m2+2m+1﹣（2m+1）]＝m2+m+1，
即点E'（2m，m2+m+1），
当E'在抛物线上时，则﹣（2m）2+2m×2m+2m+1＝m2+m+1，
解得：m＝1或m＝0（舍去）．
19．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+4的图象与x轴有唯一公共点，
∴一元二次方程ax2﹣4ax+4＝0的判别式等于0，
∴a≠0，（﹣4a）2﹣4×4a＝0，
解得：a＝1；
（2）由（1）得，y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴当x＝2时，ymin＝0，
∵当x＝0时，y＝4，
∴抛物线上点（0，4）的对称点为（4，4），
∵0≤x≤m时（m＞0），函数的最大值为4，且最小值为0，
∴2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCQ＝∠PAQ，
又∵∠DQC＝∠PQA，
∴△DCQ∽△PAQ；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，CD＝4，
∴AC＝5，
由题意知，AP＝t，，
①当AD＝AQ时，即：AQ＝3，CQ＝2
∵△DCQ∽△PAQ，
∴，即：，解得：t＝6；
②当..时，即：DQ＝3，
∵△DCQ∽△PAQ，
∴，即：，整理得：，
两边同时平方得：，整理得：，
解得：或t＝0（舍去）．
综上：△ADQ是以AD为腰的等腰三角形时，t＝6或．
21．【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．
∵，
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接OD，交BC于点F．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BF＝CF．
∵，
∴，
由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，
∴BD2+DE2＝BE2，
解得：BD＝DE＝2，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
在Rt△BDF中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
22．【解答】解：（1）在一次函数中，
当y＝0时，x＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
将B（3，0），C（0，3）代入抛物线得，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图①，连接OF，设点M坐标为M（m，0），
∵EM∥y轴，
∴点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点F的坐标为（m，﹣m+3），
由题意可得：S1＝S△OME+S△OCE﹣S△COF﹣S△OMF＝＝＝，，
∵，
∴，
解得：m1＝1，（不符合题意舍去），
∴E的坐标为（1，4）；
（3）如图②，过G作GN⊥x轴，由题意可得，
∵GM⊥CM，GB⊥CB，GN⊥x轴，∠COB＝90°，
∴∠OMC＝∠NGM，∠OCM＝∠NMG，∠OCB＝∠NBG，∠OBC＝∠NGB，
∴△COB∽△BNG，△COM∽△MNG，
∴，，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BN＝CN，OB＝OC，
∵CG2＝CM2+GM2，
∴，
设点G坐标为G（t+3，t），点M坐标为M（m，0），
可得，
解得：t＝m，
∴，
∴，
∴．
23．【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
24．【解答】解：（1）由题意得：y＝（200﹣x）（x﹣120）＝﹣x2+320x﹣24000；
（2）由题意得：﹣x2+320x﹣24000＝1500，解得x＝170或150，
y＝200﹣x＝30或50，
即当日销售利润是1500元时，产品的售价170元/件或150元/件时，相应的日销量是30件或50件；
（3）由题意得：y＝（200﹣x）（x﹣120）＝﹣（x﹣200）（x﹣120），
∵﹣1＜0，故当x＝（200+120）＝160（元/件）时，y有最大值，最大值为1600（元），
即当定价为160元/件时，最大日销售利润是1600元．
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