江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年九上数学上第一次月考试卷【含答案】

这是一份江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年九上数学上第一次月考试卷【含答案】，共25页。试卷主要包含了如图，反比例函数y＝，如图，已知关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1B．k＞﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k≠0
2．如图，E是▱ABCD边AB的延长线上一点，DE交BC于F，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
3．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．aB．C．D．a
4．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2550B．x（x﹣1）＝2550
C．2x（x+1）＝2550D．x（x﹣1）＝2550×2
5．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图．等边△ABC的边长为5，点D、E、F分别在三边AC、AB、BC上，且AE＝2，DF⊥DE，∠DEF＝60°，则DF的长为（ ）
A．3B．2C．D．
7．如图，在△ABC中，BC＝4，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP+BP＝（ ）
A．8B．C．4D．10
8．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（ ）
A．最小值﹣3B．最小值3C．最大值﹣3D．最大值3
10．已知关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣＝0（a＜b）的两个根为x1、x2，则实数a、b、x1、x2的大小关系为（ ）
A．a＜x1＜b＜x2B．a＜x1＜x2＜bC．x1＜a＜x2＜bD．x1＜a＜b＜x2
11．如图，正方形ABCD边长为3，M、N在对角线AC上，且∠MBN＝45°，作ME⊥AB于点E，NF⊥BC于点F，反向延长ME、NF交于点G，则GE•GF的值是（ ）
A．3B．3C．3D．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C，则下列说法正确的个数是（ ）
①当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；
②当△ABC是直角三角形，则a＝﹣；
③若m≤x≤m+3时，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为am2+bm+c，则m≥3．
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共5小题）
13．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD且AE、BD交于F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF＝ ．
14．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，设BD＝x，则△BDE面积S＝ ．（用x的代数式表示）
16．若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝﹣mx2+4mx+m2+1（m＞0）上，则y1、y2、y3大小关系为 （用“＞”连接）．
17．如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝3，且＝，则m+n的最大值为 ．
三．解答题（共6小题）
18．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
20．某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元．请解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品 件时，销售单价恰好为2600元；
（2）设购买这种产品x件（其中x＞10，且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；
（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知A（﹣1，0），一次函数y＝﹣x+2的图象交坐标轴于点B、C，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A、C、B．点Q是二次函数图象上一动点．
（1）当S△QAB＝5S△AOC时，求点Q的坐标；
（2）过点Q作直线l∥BC，当直线l与二次函数的图象有且只有一个公共点时，求出此时直线l对应的一次函数的表达式并求出此时直线l与直线BC之间的距离．
23．如图，抛物线y＝ax2+5ax+c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：4+4k≥0，
解得：k≥﹣1，
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0中k≠0，
故选：C．
2．【解答】解：图中相似三角形有：△BFE∽△ADE，△DFC∽△EFB，△DFC∽△EDA，共3对，
故选：C．
3．【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB＝4，AD＝2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为a，
故选：C．
4．【解答】解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为（x﹣1）张，
∴x（x﹣1）＝2550．
故选：B．
5．【解答】解：如图，
∵点A坐标为（﹣1，1），
∴k＝﹣1×1＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵OB＝AB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ＝45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ＝∠OPQ＝45°，∠B′PB＝90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（﹣，t），
∵PB＝PB′，
∴t﹣1＝|﹣|＝，
整理得t2﹣t﹣1＝0，解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选：A．
6．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣60°﹣∠1，
∠2＝180°﹣∠1﹣60°，
∴∠ADE＝∠2，
∴△ADE∽△BEF，
∴＝，
∵DF⊥DE，∠DEF＝60°，
∴＝2，
∴BF＝2AE＝4，
过E作EG⊥BF于G，
∵∠B＝60°，BE＝5﹣2＝3，
∴BG＝1.5，EG＝，
∴FG＝，
∴EF＝＝，
∴DF＝EF＝，
故选：D．
7．【解答】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．
∵EG∥BC，
∴∠G＝∠GBC，
∵∠GBC＝∠GBP，
∴∠G＝∠PBG，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG，
∵CQ＝EC，
∴EQ＝2CQ，
∵EG∥BC，
∴＝＝2，
∵BC＝4，
∴EG＝8，
∴EP+PB＝EG＝8，
故选：A．
8．【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
9．【解答】解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得
﹣3＝1﹣m+n
∴n＝m﹣4
∴mn+1
＝m（m﹣4）+1
＝m2﹣4m+1
＝（m﹣2）2﹣3
所以mn+1有最小值﹣3，
故选：A．
10．【解答】解：设函数y＝（x﹣a）（x﹣b），
当y＝0时，
x＝a或x＝b，
当y＝时，
由题意可知：（x﹣a）（x﹣b）﹣＝0（a＜b）的两个根为x1、x2，
由于抛物线开口向上，
由抛物线的图象可知：x1＜a＜b＜x2
故选：D．
11．【解答】解：如图所示，过M作MQ⊥BC于Q，过N作NP⊥AB于P，则
Rt△APN中，AN＝PN＝EG，
Rt△CMQ中，CM＝MQ＝GF，
∵正方形ABCD中，AC是对角线，
∴∠BAN＝∠MCB＝45°，
又∵∠MBN＝45°，
∴∠ABN＝∠ABM+45°＝∠CMB，
∴△ABN∽△CMB，
∴＝，即CM×AN＝AB×CB，
∴GF×EG＝9，即2GF×EG＝9，
∴GE•GF的值是，
故选：D．
12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴该抛物线开口向下，对称轴为x＝＝1，抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，
∴①正确；
∵点C为抛物线的顶点，
∴当△ABC是直角三角形时，此三角形为等腰直角三角形，
∴对称轴x＝1与x轴的交点将△ABC分成两个全等的等腰直角三角形，其直角边长为＝2，
∴此时点C坐标为：（1，2）．
设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，
将A（﹣1，0）代入得：0＝4a+2，
∴a＝﹣，
故②正确；
∵对称轴为x＝1，a＜0，
∴当x≥1时，二次函数y＝ax2+bx+c的函数值随着x的增大而减小，
∴③中m≥1即可，故③错误．
综上，正确的有①②．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
13．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，，
∴（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：4：10：25．
14．【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
15．【解答】解：过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G，作EH⊥AB，交BA的延长线于点H，作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝4，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
∴AM＝＝＝，
∵S△ABC＝×BC×AM＝×AB×CG，
∴5CG＝×4，
∴CG＝4，
∴BG＝＝＝8，
∵四边形DEFC是正方形，
∴DE＝DC，∠EDC＝90°，
∴∠EDH+∠CDH＝90°＝∠EDH+∠DEH，
∴∠DEH＝∠CDH，
在△DEH和△CDG中，
，
∴△DEH≌△CDG（AAS），
∴EH＝DG＝8﹣x，
∴S△BDE＝×BD×EH＝×x（8﹣x）＝﹣x2+4x，
故答案为：﹣x2+4x．
16．【解答】解：y＝﹣mx2+4mx+m2+1（m＞0），
对称轴为x＝﹣＝2，
观察二次函数的图象可知：y2＞y3＞y1．
．
故答案为：y2＞y3＞y1．
17．【解答】解：过B作BE⊥l1于点E，延长EB交l3于点F，过A作AN⊥l2于点N，过C作CM⊥l2于点M，
设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，
∵BD＝3，
∴DM＝y﹣3，DN＝3﹣x，
∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
又∵∠AND＝∠CMD＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴xy＝mn，
∵∠ADN＝∠CDM，
∴△CMD∽△AND，
∴，即，
∴，
∴y＝9﹣2x，
∵＝，
∴n＝2m，
∴m+n＝3m，
∵mn＝xy＝x（9﹣2x）＝9x﹣2x2＝2m2，
∴2m2＝﹣2（x﹣）2+，
∴m2＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，m2的最大值为，则m最大＝（负值舍去），
∴m+n的最大值＝3m＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
18．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10，
①当AP＝PO＝t，如图1，过P作PM⊥AO于点M，
∴AM＝AO＝，
∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴，
∴AP＝t＝，
②当AP＝AO＝t＝5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm，
由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE＝PD＝8﹣t，
则S△BOE＝BE•OH＝×3（8﹣t）＝12﹣t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为＝，
∴＝，
∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12cm2，
∴S△DFQ＝12×＝，
∴S五边形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ＝×6×8﹣（12﹣t）﹣＝﹣t2+t+12；
∴S与t的函数关系式为S＝﹣t2+t+12；
（3）存在，
∵S△ACD＝×6×8＝24，
∴S五边形OECQF：S△ACD＝（﹣t2+t+12）：24＝9：16，
解得t＝3，或t＝，
∴t＝3或时，S五边形OECQF：S△ACD＝9：16．
19．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
∴30＜x≤46，
设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），
w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，
﹣10（x﹣50）2＝﹣250，
x﹣50＝±5，
x1＝55，x2＝45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
20．【解答】解：（1）购买这种产品 x件时，销售单价恰好为2600元，
由题意得：3000﹣5（x﹣10）＝2600，解得：x＝90，
故答案为：90；
（2）由题意得：y＝[3000﹣5（x﹣10）﹣2400]x＝﹣5x2+650x（x＞10）；
同理当x＞90时，y＝200x，
故y＝；
（3）要满足购买数量越大，利润越多．故y随x的增大而增大，
y＝200x，y随x的增大而增大，
y＝﹣5x2+650x，当10≤x≤65时，y随x的增大而增大，
若一次购买65件，设置为最低售价，则可以避免y随x增大而减小的情况发生，
故x＝65时，设置最低售价为3000﹣5×（65﹣10）＝2725（元），
答：公司应将最低销售单价调整为2725元．
21．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2，
得，
解得，a＝﹣，b＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣x+2，
在y＝﹣x2﹣x+2中，
当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
由二次函数的图象及性质知，当x＜﹣3或x＞1时，y＜0；
（2）存在，理由如下：
如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，
将点A（﹣3，0）、C（0，2）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝，b＝2，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
设P（x，﹣x2﹣x+2），则H（x，x+2），
∴△ACP的面积S＝PH•OA＝×3（﹣x2﹣x+2﹣x﹣2）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，S有最大值为，此时P（﹣，）；
（3）如图2，当AQ∥CM且AQ＝CM时，
∵yC＝2，
∴yM＝2，
在y＝﹣x2﹣x+2中，
当y＝2时，x1＝0，x2＝﹣2，
∴M1（﹣2，2），
∴CM＝2，
∴AQ＝2，
∵A（﹣3，0），
∴Q（﹣5，0）或（﹣1，0）；
当AM∥CQ时，
∵yC﹣yA＝2，
∴yQ﹣yM＝2，
∴yM＝﹣2，
在y＝﹣x2﹣x+2中，
当y＝﹣2时，x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，
∴M2（﹣1﹣，﹣2），M3（﹣1+，﹣2），
∵xC﹣xA＝3，
∴xQ﹣xM＝3，
∴xQ＝2﹣或2+，
∴Q（2﹣，0）或（2+，0），
综上所述，点Q的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）或或．
22．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交坐标轴于点B、C，
∴B（4，0），C（0，2）
∴S△AOC＝＝1，
∵S△QAB＝5S△AOC，
∴S△QAB＝（4+1）×|yQ|＝5，
则|yQ|＝2，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将A、B、C代入得，解得
∴二次函数解析式为，
令y＝2，则2＝﹣2+x+2，解得x＝0或3，
令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2+x+2，解得x＝，
∴Q点的坐标为（0，2）或（3，2）或Q（，﹣2）或Q（，﹣2）
（2）由B（4，0），C（0，2）可知直线BC的解析式为y＝﹣+2，
根据题意设：，
则中△＝32﹣8b＝0 解得b＝4，
∴直线l为：，
∴D（0，4），
∴CD＝4﹣2＝2，
如图，∵BC＝＝2，
∵△DCE∽△BCO，
∴＝，即＝，
∴DE＝
∴此时直线l与直线BC之间的距离为d＝．
23．【解答】解：（1），
∴；
∵C（0，c），
∴OC＝﹣c，DH＝，
∵S△ABD：S△ACB＝9：16，
∴，∴c＝4a，
∴y＝ax2+5ax+4a＝a（x+1）（x+4），
∴A（﹣4，0），B（﹣1，0）；
（2）∵EH∥OC，
∴△AEH∽△ACO，∴
∴，∴EH＝﹣1.5a；
∵DH＝﹣2.25a≠EH，
∵△DBH与△BEH相似，
∴∠BDH＝∠EBH，
又∵∠BHD＝∠BHE＝90°，
∴△DBH∽△BEH，∴，∴，
∴（舍去正值）
∴．