天津市和平区双菱中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题【含答案】

这是一份天津市和平区双菱中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．1B．C．4D．
4．抛物线的最大值为（ ）
A．4B．C．5D．
5．有人患了流感后，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
6．已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（ ）
A．1，3B．3，-4C．1，-3D．3，-3
8．如图，在ΔABC中，，将ΔABC绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．根据下列表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
10．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B． C．D．
12．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边为，，CD，且这三边的和为，有下列结论：
的长可以为；
的长有两个不同的值满足菜园面积为；
菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是 ．
14．求抛物线与y轴的交点坐标为 ．
15．若一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ．
17．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为 ．
三、解答题
18．解下列方程．
(1)；
(2)．
19．已知抛物线经过，、，两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当为何值时，随的增大而增大？
(3)当时，求的取值范围．
20．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
21．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
22．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．
(1)求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率；
(2)若“冰墩墩”每个进价40元，原售价为每个60元，该超市在今年4月份进行降价促销，若“冰墩墩”在3月份的基础上每个降价1元，销售量可增加40个，当“冰墩墩”每个售价为多少元时，出售“冰墩墩”在4月份利润最大，最大利润为多少元？
23．（1）如图①，△PAM是等边三角形，在边PM上取点B（点B不与点P，M重合），连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC，连接BC，MC．
①△MAC可以看作△PAB绕点 逆时针旋转 （度）得到的；
②∠PMC= （度）．
（2）如图②，△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，在边PM上取点B（点B不与点P，M重合），连接AB，将线段AB绕点A旋转，得到线段AC，旋转角为α，连接PC，BC．
①当α = 90°时，若△PBC的面积为1.5，求PB的长；
②若AB=，求△PBC面积的最大值（直接写出结果即可）．
24．如图，已知抛物线经过点和点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上的一动点（点在直线的下方），过点作轴，交直线于点．设点的横坐标为，求线段的长（用含的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，连接、，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、是一元二次方程，该选项符合题意；
D、不是整式，不是一元二次方程，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的识别，牢记一元二次方程的定义（等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程）是解题的关键．
3．C
【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左边进行配方即可．
【详解】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
4．D
【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口方向向下，对应函数有最大值．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，二次函数的对称轴为，顶点坐标为，当，函数有最大值k．
5．A
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程,
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
6．A
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
7．A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=（x+2）2-1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y=（x+2+h）2-k-1．
又∵平移后抛物线的解析式为y=（x+3）2-4．
∴2+h=3，-k-1=-4，
∴h=1，k=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
8．C
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
【详解】解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB.
∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴的度数为24°.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.
9．C
【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，
∴的一个解的取值范围为．
故选：C．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系．
10．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．据此求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
与对称轴距离越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
，
，
故选B．
11．C
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
12．B
【分析】设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断；根据矩形的面积，解方程求出的值可以判断；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断，此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．
【详解】解：设边长为，则边长为，
当时，，
解得，
∵的长不能超过，
∴，
故错误；
∵菜园面积为，
∴
整理得：，
解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，
故正确；
设矩形菜园的面积为，
根据题意得：
∵，
∴当时，有最大值．
故错误．
∴正确的有个，
故选：．
13．/0.5
【分析】把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
【详解】解：把代入方程中得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可．
【详解】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为；
故答案为：．
15．-2
【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
所以原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则，．
16．
【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标．
【详解】解：作轴于点，
由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴点坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．
17．/
【分析】如图，作辅助线；证明，得到；求出、的长，即可解决问题，
【详解】解：如图，连接，
由题意得：，，
∴为等边三角形，
∴，，
由旋转性质可知：，，
∴垂直平分，
∵，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴，且；
在中，由勾股定理得：
∴，
∴，
在，由勾股定理得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）先把等式右边的部分，提取公因数2，然后整体移到方程左边，再提取公因式，把一元二次方程化成一元一次方程解答即可；
（2）先把常数项移到等号右边，然后方程两边同时加9，再利用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
∴；
（2），
，
，
，
，
．
19．(1)抛物线解析式为，顶点的坐标为
(2)当x>1时，随的增大而增大
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合问题，掌握待定系数法求解析式，以及二次函数的性质，是解题的关键；
（1）把、代入解析式，由待定系数法即可求解；
（2）根据函数的性质即可求解；
（3）根据对称轴在～之间，求出对应的的值，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得
，
解得，
所以抛物线解析式为，
顶点的坐标为；
（2）解：由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=1，
当x>1时，随的增大而增大；
（3）解：抛物线的对称轴为直线x=1，
抛物线的开口向上，
当x=1时，二次函数有最小值，且当x>1时，随的增大而增大，
当时，，
当时，则的取值范围为．
20．比赛组织者应邀请8个队参赛.
【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得：
，
解得：，.
不合题意舍去，
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
【点睛】本题是一元二次方程的应用，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
21．（1）；（2），
【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】解：（1）由题知，
∴．
（2）由图知的一个根为1，
∴，∴，
即一元二次方程为，
解得，，
∴一元二次方程的解为，．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
22．(1)“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为
(2)当“冰墩墩”每个售价为55元时，出售“冰墩墩”在4月份利润最大，最大利润为9000元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．根据题意正确的列等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为，则2月销售量为 ，3月销售量为，根据题意可知，，计算求出满足要求的解即可；
（2）设在4月份“冰墩墩”每个售价为元，利润为元，则单件利润为元，销售量为件，依题意得，，根据二次函数的图象与性质，计算求解即可．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为，
依题意得，，
解得，，（舍去），
∴“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设在4月份“冰墩墩”每个售价为元，利润为元，
依题意得，，
∵，
∴当时，利润最大，最大利润为9000元．
23．（1）①A，60；②120；（2）①PB的长为3或1或3；②32(3+) ．
【分析】（1）利用“SAS”证明△PAB≌△MAC，从而得到结论；
（2）①分两种情况讨论，用“SAS”证明三角形全等，利用三角形面积公式列得方程求解即可；
②判断当线段AB旋转到DA延长线上时，△PBC的面积取得最大值，据此求解即可．
【详解】解：（1）①∵△PAM是等边三角形，
∴PA=AM，∠PAM=∠APM=∠AMP=60°，
∵线段AC是线段AB绕点A逆时针旋转60°得到的，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=60°，
∴∠PAB=∠MAC，
∴△PAB≌△MAC(SAS)，
∴△MAC可以看作△PAB绕点A逆时针旋转60（度）得到的，
②∵△PAB≌△MAC，
∴∠APM=∠AMC=60°，
∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=120°．
故答案为：①A，60；②120；
（2）①当线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC，连接CM，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，
∴∠APM=∠AMP=45°，PM=2=4，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=90°，
∴∠PAB=∠MAC，
∴△PAB≌△MAC(SAS)，
∴∠APM=∠AMC=45°，PB=MC，
∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=90°．
∴△PBC的面积=PBMC=PB2=1.5，
解得：PB=3(负值已舍)；
当线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC1，连接C1P，
同理可得△MAB≌△PAC1 (SAS)，
∴∠AMB=∠APC1=45°，BM=PC1，
∴∠MPC1=∠APM+∠APC1=90°．
∴△PBC1的面积=PBPC1=PB(4-PB)=1.5，
整理得：PB2-4PB+3=0，
解得：PB=3或1；
综上，PB的长为3或1或3；
②过点A作AD⊥PM于点D，
∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，
∴AD=PD=DM=2，
∵AB=，
∴BD=，
∴PB=2+1=3，
∵线段AC是线段AB绕点A逆时针旋转得到的，
∴线段AB旋转到DA延长线上时，△PBC的面积取得最大值，如图：
∴△PBC面积的最大值=PBCD=PB(AC+CD) =32(3+) ．
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）将，代入，求出、的值即可；
（2）根据，两点坐标求出直线的解析式，结合点的横坐标为，在抛物线上求出点的纵坐标，再根据轴，点在直线上，求出点的坐标，再求出线段的长；
（3）设的面积为，根据，用含的式子表示出，再根据二次函数的性质求出取最大值时的值，从而求出点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得

解得：
∴；
（2）∵，，
∴直线AB的方程为：，
又∵过点作轴，交直线于点，点的横坐标为，
∴，，
∴；
（3）设的面积为S，由（2）得：，则
∵
∴时，S取最大值，
∴故的面积最大时，点的纵坐标为：；
∴故的面积最大取最大值时，点的坐标，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质以及包含的线段和面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
A
A
A
C
C
B
题号
11
12








答案
C
B