初中数学人教版（2024）七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组同步测试题

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类型三：整体换元法求未知数的值
类型一：不解方程（组）求式子的值
1．已知x，y为二元一次方程组的解，则x﹣y＝ 1 ．
【分析】两式相减即可得出答案．
【解答】解：，
②﹣①，得2x﹣2y＝2，
则x﹣y＝1．
故答案为：1．
2．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（ ）
A．3B．6C．﹣1D．﹣2
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．
【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，
∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．
故选：B．
3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为 2024 ．
【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．
【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝﹣1+2025
＝2024；
故答案为：2024．
4．已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为 9 ．
【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：
2m+3n＝5，
所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．
故答案为：9．
5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝ 4 ．
【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．
【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，
∴2m﹣3n＝2020．
∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．
故答案为：4．
6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b的值为 ﹣1 ．
【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论．
【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，
∴3a﹣2b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
7．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．
【解答】解：将方程两式相加得，
4x﹣4y＝8，
∴x﹣y＝2，
故选：A．
8．已知x、y满足方程组，则x+y的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】直接把两式相加即可得出结论．
【解答】解：，
①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．
故选：B．
9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（ ）
A．9B．3C．﹣3D．﹣9
【分析】②﹣①得：m+n＝3．
【解答】解：，
②﹣①得：m+n＝3．
故选：B．
10．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．0
【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．
【解答】解：把代入方程组，
得：，
①+②，得：7（a+b）＝7，
则a+b＝1．
故选：A．
类型二：利用整体代入法求方程组的解
11．解方程组：．
【分析】方程组利用代入消元法求解即可．
【解答】解：，
由①得x＝3y﹣1③，
把③代入②，得6y﹣y＝10，
解得y＝2，
把y＝2代入③，解得x＝5，
∴．
12．解方程组时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组．
【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．
【解答】解：，
把①代入②得：3×12+5y＝26，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，
解得x＝3，
故原方程组的解是：．
13．阅读以下材料：
解方程组：；
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小亮补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组：．
【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；
（2）利用整体代入法进行求解即可．
【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，
将③代入②得：4×1﹣y＝0，
解得y＝4，
把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，
解得x＝5，
故原方程组的解是：；
（2），
整理得：，
把③代入④得：2×2+1+15y＝50，
解得y＝3，
把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，
解得x＝，
故原方程组的解是：．
14．先阅读材料，然后解方程组：
材料：解方程组
在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．
把y＝2代入①得x＝2，所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．
【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．
【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，
把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③得：x＝0，
则方程组的解为．
15．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝ 0 ，y＝ 1 ；利用整体代入思想，已知，则x2+4y2＝ 17 ．
【分析】将x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；给2x2+xy+8y2＝36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．
【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，
解得y＝﹣1，
∴x＝0，
故答案为：0，1；
，
②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，
③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，
∴7x2+28y2＝119，
∴7（x2+4y2）＝119，
∴x2+4y2＝17，
故答案为：17．
16．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）把3x+5y看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；
（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．
【解答】解：（1），
将方程②变形：6x+10y+y＝35，
即2（3x+5y）+y＝35③，
把方程①代入③得：2×16+y＝35，
解得y＝3，
把y＝3代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）（i）原方程组化为，
将①代入方程②得：72+7xy＝51，
∴xy＝﹣3；
（ii）由（i）得xy＝﹣3，
∵x与y是整数，
∴或或或，
由（i）可求得2x2+3y2＝21，
∴和符合题意，
故原方程组的所有整数解是或．
类型三：整体换元法求未知数的值
17．用换元法解方程组，如果 ，那么原方程组化为关于u、v的方程组是 ．
【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可．
【解答】解：已知，
设＝u，＝v，
那么原方程组化为：，
故答案为：．
18．解方程组．
【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．
【解答】解：原方程组可化为：，
（2）×5+（1）得：46y＝46，
y＝1，
把y＝1代入（1）得：x＝7．
∴．
19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．
【解答】解：由题意知，，
①+②，得：2x＝7，x＝3.5，
①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，
所以方程组的解为，
故选：C．
20．阅读材料，解答问题：
材料：解方程组，我们可以设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．
请用换元法解方程组：．
【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组即可求解．
【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，
用加减消元法解得，
再将a、b转化为，
解得．
21．阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组．
【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．
【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，
方程组变形得：，
整理得：，
①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，
把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，
∴，
解得：．
22．阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，
解得，即，解得．
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；
（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．
（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．
【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；
（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；
（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设，，
∴原方程可以化为，
用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，
把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，
∴方程组的解为，
即，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：设，
则方程化为：，
即，
解得；
（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，
变形为，
将方程②代入③得：，
解得z＝2．