湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下学期6月期末数学试卷(解析版)

这是一份湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下学期6月期末数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，而，所以.
故选：A.
2. 向量满足，且向量夹角为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为，，
则，所以.
故选：C.
4. 在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】（1）中，在空间中，垂直于同一直线的两直线，可能平行、相交或异面，
所以不正确；
（2）中，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；
（3）中，平行于同一直线的两直线平行，所以是正确的；
（4）中，根据直线与平面垂直的性质，可得垂直于同一平面的两直线平行，所以是正确．
故选：B.
5. 若是纯虚数，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】因为是纯虚数，
所以，得.
故选：B.
6. 已知与共线，且向量与向量垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，解得，
又因为，所以，解得，所以.
故选：B．
7. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. -1D. 2
【答案】C
【解析】由条件可得，
则.
故选：C.
8. 若锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为锐角，所以，所以，
又因为，所以，
所以
.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. 在复平面上对应的点在第一象限D. 的虚部为
【答案】ABC
【解析】，知复数的虚部为1，所以选项D错误；
对于选项A，，所以选项A正确；
对于选项B，，所以选项B正确；
对于选项C，复数对应的点为在第一象限，所以选项C正确.
故选：ABC.
10. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A.
B. 平面
C. 与平面所成角是
D. 与所成的角等于与所成的角
【答案】ABC
【解析】对于A选项，因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，A对；
对于B选项，因为四边形为正方形，则，
又因为平面，平面，所以，平面，B对；
对于C选项，因为平面，所以，与平面所成角是，C对；
对于D选项，因为，平面，平面，
所以，，所以，为锐角，
所以，与所成的角为直角，与所成的角为锐角，
故与所成的角不等于与所成的角，D错.
故选：ABC.
11. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（ ）
A. 该圆台轴截面面积为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台的表面积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
【答案】ABD
【解析】对于，由，且，
可得，高，
则圆台轴截面的面积为，故A正确；
对于B，圆台的体积为，故B正确；
对于C，圆台的侧面积为，又，
，所以，故C错误；
对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角，
设的中点为，连接，
可得，
则，又点到的距离，
所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．
故选：ABD．
12. 已知函数则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图像关于直线对称
C. 函数为偶函数
D. 函数的图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为
【答案】BD
【解析】对选项A：因为，所以的最小正周期为，
错误；
对选项B：当时，，
所以是的一条对称轴，正确；
对选项C：易知函数的定义域为，
又，
所以函数不是偶函数，错误；
对选项D：函数的图像向左平移个单位后得到
，
由题意，函数的图像关于轴对称，
所以，即，
当时，，
即函数图像向左平移个单位后关于轴对称，则可以为，D正确.
故选：BD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13. 已知为角α终边上一点，则=______．
【答案】
【解析】为角α终边上一点，，
则，，.
故答案为：.
14. 现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．
【答案】
【解析】设球的半径为，则，解得，
所以该工件的表面积为.
故答案为：.
15. 函数的最大值为__________.
【答案】
【解析】，
其中，所以的最大值为.
故答案为：.
16. 已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________．
【答案】
【解析】如图所示：
过作于，连接，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在直角三角形中，因为，
所以，，
在直角三角形中，.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求．
解：（1）因为，所以，又，所以，
因为，所以，因为，或.
（2）因为，，
当时，
，
因为，则；
当时，
，
因为，则，
综上，当时，；当时，.
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．求证：
（1）平面AEC；
（2）平面AEC⊥平面PBD．
解：（1）设，连接，如图所示：
因为O，E分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）连接，如图所示：
因为，为的中点，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
19. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
（1）求直线与平面所成角正弦值；
（2）求点到平面的距离.
解：（1）平面，平面，，；
是圆的直径，，又，平面，
平面，即直线与平面所成角，
，，，又，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）过作，垂足为，
由（1）得：平面，平面，平面平面，
又平面平面，平面，，平面，
，，
根据等面积法知：，，
即到平面的距离等于.
20. 若函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）写出函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数在上的值域.
解：（1）由图可知，
则，所以，故，
又，则，
所以，即，
又，所以，所以.
（2）令，得，
所以的增区间为，，
由题意，
由，得，则，
所以函数在上的值域为.
21. 如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求．
解：（1）因为，，，
由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）设，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
则，即②，
由①②得：，即，
∴，
整理得，所以．
22. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
（1）若，求函数的“平衡”数对；
（2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
解：（1）根据题意可知，对于任意实数，，
即，即对于任意实数恒成立，
只有，，故函数的“平衡”数对为.
（2）若，则，
，
要使得为“可平衡”函数，需使对于任意实数均成立，
只有，
此时，，故存在，所以是“可平衡”函数.
（3）假设存在实数，
对于定义域内的任意均有
则，
，
，
均为函数的“平衡”数对，
，
，
，函数单调递增，
即的取范围为.