江苏省南京市秦淮区2024年中考一模数学试卷(解析版)

这是一份江苏省南京市秦淮区2024年中考一模数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】．
故选：C．
2. 根据《2024年南京市政府工作报告》，我市2023年全市地区生产总值增长左右，总量万亿元左右，继续保持全国前十．将1.75万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】万亿
故选：D．
3. 如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，得到，
因为，
所以，
所以在之间，
所以
，
所以数轴上表示数m与的距离小于表示数m与的距离，
即数m与 最接近，
故选A．
4. 点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】A、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意；
B、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意；
C、反比例函数是中心对称图形，若，则，正确，符合题意；
D、若则有，即，选项错误，不符合题意．
故选：C．
5. 有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将A选项中的几何体向后面连续翻折两次即可原图组成一个长方体．
故选：A．
6. 如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：
①；②；③，其中一定成立的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】，，，，，，
∴，
，，
，，
，，，，
，，，，
故①符合题意；
由得，
与不一定相等，不一定等于，
与不一定相等，
故②不符合题意；
，且，，
故③符合题意，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上）
7. 27的立方根为_____．
【答案】3
【解析】∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
8. 计算的结果是 __．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
9. 化简：__________．
【答案】
【解析】，
故答案为．
10. 若，则的值是 __．
【答案】
【解析】根据题意，，∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 __．
【答案】
【解析】，
整理得，，
∵方程有两个不相等的实数根，∴，
∴，∴，∴．
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在边上（记为，则点运动的路径长是 __．（答案保留
【答案】
【解析】由旋转可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点D运动的路径长是．
13. 如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 __．
【答案】
【解析】∵八边形为正八边形，
∵，
∵正八边形的对角线，
∴，
又，
∴，
∴．
故答案为：67.5．
14. 甲、乙两名同学进行了5轮投篮比赛，得分情况如表（单位：分）：
设甲、乙同学得分的方差分别是，，则__．（填“”“ ”或“”
【答案】
【解析】甲的平均数为，
方差，
乙的平均数为，
方差，
∴，
故答案为：=．
15. 物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 __．（参考数据：，，．
【答案】
【解析】过点作于点，
由折射率的定义得，，
，
，
，
设，则，
，
在中，
根据勾股定理，，
即，
解得，
故答案为：3.75．
16. 二次函数为常数，的图象的顶点与原点的距离的最小值为 ________．
【答案】
【解析】∵，
∴顶点P为，即，
∴，
∵，
∴当，有最小值，
∴的最小值为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解不等式组，并写出它的整数解．
解：，
由①得，，
由②得，，
，
，
不等式的整数解为，，，0，1．
18. 以下是某同学解分式方程的部分过程：
（1）该同学解法中第一步的依据是 ；
（2）将该同学的解答过程补充完整．
解：（1）第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以，得，
故答案为：分式的基本性质；
（2），
第一步：整理，得．
第二步：去分母，得，
去括号，得∶
移项，得：
合并同类项，得：
系数化成1，得：
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
19. 新“龟兔赛跑”故事
兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的50倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．
（1）设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则由下面加点的文字可知兔子的速度是 ，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 ．
（2）求（1）中的值．
解：（1）设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是 ，
由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为．
故答案为：，；
（2）根据题意得：，
即，
解得：．
答：（1）中的值为．
20. 如图，已知矩形，点，分别在的延长线和的延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，．当的长为 时，四边形是菱形．
（1）证明：四边形是矩形，，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：若四边形是菱形，，
∵四边形是矩形，
∴
，
，
，
当的长为时，四边形是菱形．
21. 如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下：
在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在处．
（1）掷1次骰子，移动后该棋子到处的概率是 ；
（2）掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到处的概率．
解：（1）由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到处，
掷1次骰子，移动后该棋子到处的概率是．
（2）列表如下：
共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到处的结果有：，，，，，共5种，
移动后该棋子恰好到处的概率为．
22. 市场调研公司对某饮品店一个销售周期内，，，四种饮品的销售情况进行了调查，绘制了如下统计图．
（1）在扇形统计图中，“饮品”所对应的圆心角的度数是 ；
（2）若，，，四种饮品的单位成本分别是9元、14元、10元、15元，求该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率．（注：平均利润率）
解：（1），
故答案为：108；
（2）设总销售量为，
则饮品销售量为，饮品销售量为，饮品销售量为，饮品销售量为，
饮品成本为（元，饮品成本为（元，饮品成本为（元，饮品成本为（元，
饮品利润为（元，饮品利润为（元，饮品利润为（元，饮品利润为（元，
该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为：
，
答：该饮品店这个销售周期内四种饮品的平均利润率为．
23. 已知周长为（为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示．
（1）的值为 ；
（2）当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）周长为(为定值)的矩形的一边长与它的邻边长，
，
当时，，
．
故答案为：44；
（2）由（1）知，，，
，
，
当时，．
答：当时，该矩形的面积最大，最大面积是．
24. 如图，是以为直径的半圆上的一点，平分交半圆于点，交射线于点．
（1）求证：；
（2）若，当时，四边形的面积为 ．
（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
；
（2），，
，
是半圆的直径，
，
，
的面积，
，
的面积的面积的面积，
四边形是菱形，
菱形的面积的面积，
四边形的面积菱形的面积的面积，
25. 点和点在二次函数（，是常数）的图象上．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求证．
（1）解：，，且，
，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
，，
，
，
．
．
26. 如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）的底边长为，底边上的中线为；
（2）的底边长为，腰上的中线为．
解：（1）根据题意，作图如图1所示：
则为所作．
（2）根据题意，作图如图2所示：
则为所作．
27. 数学概念
若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切圆．如图①，以四边形的边为直径的与相切，切点在边上，因此是四边形的径切圆．
初步理解
（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为的矩形，其中，一定存在径切圆的是 （填序号）．
性质初探
（2）在图①中，连接，，求证．
深入研究
（3）如图②，与均是四边形的径切圆，其切点分别为，，判断与的位置关系并说明理由．
（4）在（3）中，若点和点恰好重合，，，直接写出和的半径长（用含，的代数式表示）．
（1）解：相邻两边长为的矩形，一定存在径切圆．理由：
矩形的相邻两边长为，
矩形的长边的中点到对边的距离等于这边的一半，
以矩形的长边为直径的圆与对边相切，
相邻两边长为的矩形，一定存在径切圆．
而①②不一定存在径切圆．
故答案为：③；
（2）证明：连接，如图，
与相切，
，
，
，
为的直径，
，
．
，，
，
；
（3）解：与的位置关系为：，理由：
连接，，，，，，设与交于点，与交于点，与交于点，如图，
由（2）知：，，
设，则．
同理可得：，
设，则．
与均是四边形的径切圆，其切点分别为，，
，，
，
，
，
，
，
，
∴，．
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，，．
，
，，
，
．
同理：，
，
，
，
，
．
，
，
，
∴．
（4）解：点和点恰好重合，如图，
由（3）知：．
点，分别为，的中点，
为梯形的中位线，
，
的半径长，
与相切于点，点和点恰好重合，
，
为梯形中位线，
，，
．
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的半径长为．第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
第5轮
甲
8
10
10
10
12
乙
14
10
12
12
12
第一步：解：整理，得．
第二步：去分母，得
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6