湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）
1. 在中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A. 2B. 4C. 16D.
【答案】B
【解析】因为在中，，
由余弦定理得，解得.
故选：B.
2. 设复数，则复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由复数，可得，所以，
则对应的点在第一象限.
故选：A.
3. 已知点，则与向量共线的单位向量为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】与共线的单位向量为，
即或.
故选：D.
4. 如图，已知的半径为4，若劣弧长为，则劣弧所对圆周角的正弦的平方为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设劣弧所对的圆周角为，则其所对圆心角为，
由圆心角等于弧长除以半径可知，即，
又由，可以解得.
故选：C.
5. 已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，点在线段上，设，
且.以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
则，则，
由，
故，
所以，
由于，所以.
故选：A.
6. 设的内角的对边分别为，已知，且，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
由正弦定理得，，
或，
又.
故选：B.
7. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数.声音的音调､响度､音长和音色等要素都与正弦函数及其参数有关.比如：振幅会影响响度，振幅越大，响度越大，振幅越小，响度越小；频率会影响音调，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.平常我们听到的每个音都是由纯音合成的，可用函数来描述.设某声音甲的函数模型为，纯音乙的函数模型是，结合上述材料进行分析，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数在区间上单调递减
C. 声音甲的响度一定比纯音乙的响度小
D. 声音甲一定比纯音乙更低沉
【答案】D
【解析】A选项，因为，
定义域为，
，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，错误；
选项，因为，
所以都在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，B错误；
C选项，因为，
所以的振幅大于的振幅，甲声音的响度更大，故错误；
D选项，易知的周期是的周期是，所以的频率小于的频率，
甲声音更低沉，故D正确.
故选：D.
8. 如图，已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】在上取点，使得，
分别连结，
因为，可得，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
由且，可得，
又由且，所以，
正方体中，可得，所以，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可证平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因此点的轨迹为线段，
在等腰三角形中，，
可得底边上的高为，此即为长度的最小值.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 单位向量都相等
B. 非零向量和满足，则与的夹角为
C. 在四边形中，，则四边形平行四边形
D. 若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底
【答案】BC
【解析】对于A，单位向量的模都是1，但方向是任意的，所以不一定相等，故A错误；
对于B，非零向量和满足，
则以为三边的三角形是正三角形，
所以与的夹角为，故B正确；
对于C，因为是不共线的点，，即模相等且方向相同，
所以四边形对边平行且相等，故四边形是平行四边形，故C正确；
对于D，，则为共线向量，不可以作为平面向量的基底，
故D错误.
故选：BC．
10. 如图，在三棱柱中，，下列结论中正确的有（ ）
A. 平面平面
B. 直线与所成的角的正切值是
C. 三棱锥的外接球的表面积是
D. 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍
【答案】ABC
【解析】对于A中，因为，且，所以平面，
又因为平面，则平面平面，所以A正确；
对于B中，因为，则直线与所成的角即为直线与所成的角，
设，在平行四边形中，与相交于点，
等腰直角三角形，，所以，可得，
所以，
又由，解得，所以B正确；
对于C中，由于两两垂直且相等，故可将三棱锥补成一个棱长为2的正方体，正方体的外接球就是三棱锥的外接球，半径是，
所以外接球的表面积是，所以C正确；
对于D中，在平行四边形中，可得，
可得
，
所以，
同理可得：，，
相加得，
所以该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的2倍，
所以D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】函数在区间上为单调函数，
且当时，在上单调递增，
，解得，
又函数有两个不同的零点等价于有两个不同的实数根，
函数的图象与直线有两个不同的交点，
作出函数与直线的图象，
当时，由得，
由于，故，
易知函数与直线的图象在上有唯一交点，
则函数与直线的图象在上有唯一交点，
故或与的图象相切，即有唯一解，
或或，
综上，实数的取值范围为，结合选项可知BCD符合题意.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为__________.
【答案】
【解析】设的边上的高为，由斜二测画法原理可得，
所以，又，所以.
故答案为：.
13. 已知，则的大小关系为__________.（用“