甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A、 B、
C、 D、存在非零实数，使
2．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
3．若直线与圆相交，则实数的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
4．已知圆：和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
5．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )。
A、 B、
C、 D、
6．如图所示，在三棱锥中，平面，是棱的中点，已知，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )。
A、 B、
C、 D、
7．若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是( )。
A、 B、 C、 D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数( )。
A、 B、 C、 D、
10．已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于( )。
A、 B、 C、 D、
11．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则的长度相等而方向相同或相反
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若两个非零向量与满足，则
D．若空间向量，满足，且与同向，则
12．如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面B．不是定值
C．三棱锥的体积为定值D．

第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 。
14．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是 。
15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为 。
16．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
如图所示，已知平行六面体中，各棱长均为，底面是正方形，且，设，，。
(1)用、、表示，并求；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值。
18．（本小题满分12分）
过点作直线分别交、轴正半轴于、两点。
(1)当面积最小时，求直线的方程。
(2)当取最小值时，求直线的方程。
19．（本小题满分12分）
如图所示，在中，，为边上一点，且，，平面，且。
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱中，，，。
(1)证明：；
(2)若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，求的长；若不存在，说明理由。
21．（本小题满分12分）
如图所示，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上。
(1)证明：平面；
(2)如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置。
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上。
(1)求椭圆的方程；
(2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：。