北京市第十三中学分校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷(无答案)

这是一份北京市第十三中学分校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷(无答案)，共7页。试卷主要包含了二次函数的最大值是______等内容，欢迎下载使用。
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共6页。
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟。
3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号。
4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师。
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．，B．，
C．D．
3．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
4．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线表达式为（ ）
A．B．
C．D．
5．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法准确判断
7．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（ ）
A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点
C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点
8．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
其中m，n，p为常数，且m＜p．
有下列四个结论：
①a＜0；②抛物线的对称轴是直线x＝1；
③0和1是方程的两个根；④若t＞3，则m＜n．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．点（1，2）关于原点的对称点的坐标为______．
10．二次函数的最大值是______．
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，则∠P的度数为______°．
第11题图
12．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则劣弧BD的长为______．
第12题图
13．如图，在长为30m、宽20m的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为1：2，余下的部分作为草坪，若草坪面积为，设横向道路的宽度为xm，则可列方程为______．
第13题图
14．点、在二次函数的图象上，若当，时，则与的大小关系是______．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
15．已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为0s，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论：
①点火后9s和点火后15s小火箭与地面的距离相同；
②点火后24s火箭落于地面；
③小火箭飞行过程中第二次距离地面141m时，飞行时间为14s；
④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为145m．
其中正确的推论是______．
16．已知⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为______；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为______．
三、解答题：（本大题共12小题，共68分）
17．解方程：．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，－1）．
（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，
①线段CA扫过的图形面积为______；
②连接，线段的中点的坐标为______．
19．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°．
求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；
③连接BP，CP，∠CPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线，
∴OA＝______．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝______．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵
∴∠CPB＝∠A（________________________）（填推理依据）．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根之差为3，求m的值．
21．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以A为旋转中心，分别将线段AC，AB顺时针旋转25°得到线段AE，AD，AD交BC于点F．若∠D＝20°，求AF的长．
23．已知：二次函数中的x和y满足表：
（1）m的值为______；
（2）直接写出这个二次函数的顶点式，并画出它的图象；
（3）当0＜x＜4时，结合图象直接写出y的取值范围；
（4）对于正比例函数，当时，总有，直接写出k的取值范围．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）DE＝AF－2，EF＝2，求⊙O的半径．
25．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置OB上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，OD＝4m．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：．
（1）直接写出抛物线G的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点A（－1，0），点B（2－m，0），若抛物线G与线段AB只有一个交点，求m的取值范围．
27．在△ABC中，，AB＝AC．点D是边AC上一动点（不与点A，C重合），连接BD，作AH⊥BD于点H，将线段AH绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接CE，作直线HE交BC于点P．
（1）依题意补全图形，求证：∠AEC＝90°；
（2）对于任意的点D，点P的位置是否改变，若不变，请指出点P的位置，并证明；若改变，请说明理由．
28．在平面直角坐标系xOy中，A（0，t），B（0，t＋4），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．
（1）当t＝0时，
①在点，，中，线段AB的直角点是______；
②直线y＝x＋b上存在四个线段AB的直角点，求出b取值范围；
（2）直线与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出t取值范围．x
…
－2
－1
1
2
t
…
…
m
p
－3
p
n
…
x
…
－1
0
1
2
3
…
…
3
0
－1
0
m
…