河南省驻马店市驿城区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

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1．（3分）菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对边平行
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【考点】正方形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
【解答】解：A．菱形、正方形、矩形的对边相等，本选项正确，故本选项不符合题意；
B．菱形、正方形、矩形的对边平行，本选项正确，故本选项不符合题意；
C．菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，本选项正确故本选项不符合题意；
D．菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，本选项错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，
2．（3分）已知方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根是6，则它的另一个根是（ ）
A．1B．﹣6C．﹣1D．3
【考点】根与系数的关系．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣6＝0中，a＝1，b＝﹣5，c＝﹣6，
∴方程的另一个根是﹣﹣6＝﹣﹣6＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
3．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形的面积为（ ）
A．12cm2B．6cm2C．24cm2D．48cm2
【考点】菱形的性质．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，
∴菱形的面积为：；
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的面积，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解决问题的关键．
4．（3分）已知方程x2+3x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）
A．﹣1或3B．1或3C．﹣1或﹣3D．1或﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．
【解答】解：（2x+3）2+3（2x+3）﹣3＝0的解为2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
解得x＝﹣1或x＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．了解“浙江省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是全面调查
B．“打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是不可能事件
C．大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．甲、乙两人各跳绳10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定
【考点】利用频率估计概率；全面调查与抽样调查；方差；随机事件．
【解答】解：A．了解“浙江省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是，故此选项不符合题意；
B．“打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是随机事件，故此选项不符合题意；
C．大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故此选项符合题意；
D．甲、乙两人各跳绳10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，抽样调查以及事件分类、方差等知识点，解答本题的关键是熟练掌握方差等知识点．
6．（3分）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形
B．有一个角相等的两个直角三角形
C．有一个角是100°的两个等腰三角形
D．有一组角是对顶角的两个三角形
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．
【解答】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意；
B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意；
C、有一个角是100°的两个等腰三角形，其三个角一定为100°，40°，40°，一定相似，故符合题意；
D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【解答】解：根据题意列出表格如下：
由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种，
∴能使灯泡发光的概率＝．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，D为AB上一点，且，在AC上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为（ ）
A．8B．C．8或D．8或
【考点】相似三角形的判定．
【解答】解：分两种情况：
①当△ADE∽△ACB时，如图1，
∴，
∵AB＝9，AC＝12，，
∴AD＝6，
∴＝，
∴AE＝；
②当△ADE∽△ABC时，如图2，
∴，
∵AB＝9，AC＝12，AD＝6，
∴＝，
∴AE＝8．
综上，AE的长为8或．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解．
9．（3分）如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD•AB；③；④∠ACB＝∠ADC．其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】相似三角形的判定．
【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，
∴当∠ACD＝∠B或∠ACB＝∠ADC，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确；
当AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确；
当＝时，虽∠DAC＝∠CAB但不是其对应的夹角，所以两个三角形不相似，故③不正确．
因此有3个正确．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
10．（3分）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，
∴∠BCE+∠EFB＝180°，
又∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴EF＝EC，故①正确；
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴∠FAC＝∠EFC＝45°，
又∵∠ACF＝∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴，
∴CF2＝CG•CA，故②正确；
∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴，
∴，
∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴，
∴，
∴，
∴BC•CD＝DH•BE＝16，故③正确；
∵BF＝1，AB＝4，
∴AF＝3，AC＝4，
∵∠ECF＝∠ACD＝45°，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ．
【考点】根的判别式．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴22﹣4k×（﹣1）＞0且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式：式子Δ＝b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，Δ＞0⇔方程有两个不等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程无实数根．
12．（3分）一个盒子中装有15颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.4左右，别红色幸运星颗数约为 10 颗．
【考点】利用频率估计概率．
【解答】解：设袋中红色幸运星有x颗，
根据题意，得：，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原分式方程的解，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键；
13．（3分）已知，则的值为 ．
【考点】比例的性质．
【解答】解：由＝＝，
b＝，c＝．
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b＝，c＝是解题关键，又利用了分式的性质．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，E，F为垂足，AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为 ．
【考点】矩形的性质．
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AC＝＝10，
∴S△ABC＝AB×BC＝＝24，OB＝OC＝5，
∴S△OBC＝S△ABC＝12，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴S△POB＝OB•PF＝×5•PF＝PF，S△OPC＝OC•PE＝×5•PE＝PE，
∵S△POB+S△OPC＝S△OBC＝12，
∴PF+PE＝12，
∴PE+PF＝．
故答案为：．
【点评】此题主要了矩形的性质，理解矩形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
15．（3分故答案为：（，）或（4，3）．
三．解答题（共11小题）
16．（8分）解方程
（1）（x+3）2＝25
（2）x2﹣4x＝6
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【解答】解：（1）x+3＝±5，
∴x1＝2，x2＝﹣8；
（2）（x﹣2）2＝10，
，
∴．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
17．（9分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．
（1）若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，求蜡烛的像CD的长度；
（2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
【考点】相似三角形的应用．
【解答】解：（1）由题意得，AB∥OE，
∴△ABF∽△EOF，
∴，即＝，
∴OE＝2，
∵OE∥CD，CE∥OD，
∴四边形OECD是平行四边形，
∴CD＝OE＝2，
∴蜡烛的像CD的长度为2；
（2）由题可知，CD＝OE，
∴＝＝y，
∵AB∥OE，
∴△ABF∽△EOF，
∴＝＝y，
∴＝，
∴＝y+1，
∴＝y+1，
∴x＝y+1，
∴y＝x﹣1，
当＞2，即x＞2时，y＝x﹣1＞1，
∴＞1，即AB＞CD，
∴当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
18．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE＝AF，连接EF，且AC⊥EF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接OE，若点E是AB的中点，，，求四边形ABCD的周长和面积．
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．
【解答】（1）证明：∵AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵AC⊥EF，
∴AB平分∠BAD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD为菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形ABCD为菱形，
∵AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD，
在Rt△AOB中，点E是AB的中点，OE＝，
∴AB＝2OE＝，
∴四边形ABCD的周长为：4AB＝；
∵OA＝OB，
∴OB＝2OA，
由勾股定理得：AB＝＝，
∴，
∴OA＝2，
∴OB＝2OA＝4，
∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝8，
∴四边形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×8＝16．
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
19．（9分）已知△ABC的一边为5，另两边是方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0的解
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不等实根
（2）如果△ABC是直角三角形，求k的值；
（3）如果△ABC是等腰三角形，求△ABC的面积．
【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k+2＝0，
∴Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4×1×（k2﹣3k+2）
＝4k2﹣12k+9﹣4k2+12k﹣8
＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不等实根；
（2）解：原方程变形得x2﹣（2k﹣3）x+（k﹣1）（k﹣2）＝0，
∴（x﹣k+1）（x﹣k+2）＝0，
∴x﹣k+1＝0或x﹣k+2＝0，
解得x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，
∵△ABC是直角三角形，
∴若5为斜边时，则有（k﹣1）2+（k﹣2）2＝52，
整理，得k2﹣3k﹣10＝0，
∴（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x﹣5＝0或x+2＝0，
解得k1＝5，k2＝﹣2，
当k＝﹣2时，k﹣2＝﹣4＜0，不合题意，舍去；
当k＝5时，三边为3，4，5，符合题意；
∵k﹣1＞k﹣2，
∴若k﹣1为斜边时，则有（k﹣2）2+52＝（k﹣1）2，
解得k＝14，
此时三边为5，12，13，符合题意，
综上，当△ABC是直角三角形时，k的值为5或14；
（3）解：由（2）知x1＝k﹣1，x2＝k﹣2，
由于k﹣1≠k﹣2，△ABC是等腰三角形，
∴当k﹣2＝5时，k＝7，此时底边长为k﹣1＝6，
∴底边上的高为，
∴△ABC的面积为；
当k﹣1＝5时，k＝6，此时底边长为k﹣2＝4，
∴底边上的高为，
∴△ABC的面积为，
综上，当△ABC是等腰三角形时，△ABC的面积为12或．
【点评】本题考查解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、勾股定理，解答的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
20．（9分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．
21．（9分）某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量．
（1）求空调的下降率；
（2）若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售．
【考点】一元二次方程的应用．
【解答】解：（1）空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元，
∴设降价率为x，
∴3500（1﹣x）2＝2835，则，
∴，
解得，x＝10%或x＝190%，
∵是降价，
∴x＝10%，即空调的下降率为10%；
（2）设下降了y个10元，则现在的售价为（800﹣10y）元，现在的销售量为（1200+2y）台，
∴（800﹣10y）（1200+2y）＝854000，
整理得，y2+520y﹣5300＝0，
解得，y1＝﹣530（不符合题意，舍去），y2＝10，
∴下降了10个10元，即下降了100元，则800﹣100＝700（元），
∴空调应按照700元销售．
【点评】本题主要考查一元二次方程的运用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
22．（10分）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
【考点】相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴AP＝，
∴EP＝，
∴EB＝，
∴GD＝．
【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用．
23．小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：
如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为边AB上一点（不与点A、点B重合），先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H．
（1）观察发现
写出图1中一个与△AEG相似的三角形： △FHG或△DHC（写出一个即可） ．
（2）迁移探究
当CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，如图2．求阴影部分的面积．
（3）拓展应用
当点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，求BE的长．
【考点】相似形综合题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，
∴∠A＝∠B＝∠F＝∠D＝90°，
∵∠AGE＝∠FGH，
∴△AEG∽△FHG，
∴∠AEG＝∠FHG＝∠DHC，
∴△AEG∽△DHC，
故答案为：△FHG或△DHC（写出一个即可）；
（2）∵点H是AD的中点，
∴AH＝HD＝3，
∴，
∴FH＝CF﹣CH＝1，
∵∠CDH＝∠GFH，∠CHD＝∠GHF，
∴△HDC∽△HFG，
∴，即，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是；
（3）①设AB的中点为K，CD的中点为T，直线KT为矩形ABCD的对称轴，当F在KT上时，如图所示：
∵CF＝BC＝6，，∠FTC＝90°，
∴，
∴，
设BE＝x，则KE＝BK﹣BE＝2﹣x，
∵∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠KFE＝90°﹣∠TFC＝∠TCF，
∵∠EKF＝∠FTC＝90°，
∴△EKF∽△FTC，
∴，即，
解得；
∴；
②设AD的中点为N，BC的中点为M，直线MN为矩形ABCD的对称轴，当F在直线MN上时，如图所示：
∵∠FMC＝90°，，CF＝BC＝6，
∴，
∴∠MFC＝30°，
∴∠FCM＝60°，
∴，
∵，
∴，解得；
综上所述，当点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，BE的长为或．
S1
S2
S3
S1
（S1，S2）
（S1，S3）
S2
（S2，S1）
（S2，S3）
S3
（S3，S1）
（S3，S2）