山东省烟台市莱州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

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一、选择题（每题3分，满分30分）
二、填空题（每题3分，满分18分）
11．2； 12．12； 13．a＞2或0＜a＜13；
14．8 ； 15．732； 16．52。
三、解答题（本题共9个小题，满分72分）
17．（满分5分）
解：（1）原式＝22＋3×33－2×32…………………………………………………………1分
＝22＋3－3
＝22；……………………………………………………………………………………………2分
（2）原式＝1-tan60°2－4×123-1
＝1-32－4×123-1 …………………………………………………………………………3分
＝3－1－3－1 ………………………………………………………………………………4分
＝－2。 …………………………………………………………………………………………5分
18.（满分8分）
解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC＝∠AED＝90°………………………………………………………………………1分
∵csC＝22，
∴∠C＝45°，
∴∠CAE＝45°＝∠C，
∴AE＝CE，……………………………………………………………………………………2分
在Rt△ACE中，
CE＝AC•csC＝2×22＝1，
∴AE＝CE＝1，…………………………………………………………………………………3分
在Rt△ABE中，tanB＝13，
即AEBE＝13，
∴BE＝3AE＝3， ………………………………………………………………………………4分
∴BC＝BE＋CE＝4； …………………………………………………………………………5分
（2）∵AD是△ABC的中线，BC＝4，
∴CD＝12BC＝2，
∴DE＝CD－CE＝1， …………………………………………………………………………6分
又∵AE＝1，
∴DE＝AE， ……………………………………………………………………………………7分
∴∠ADC＝45°，
∴sin∠ADC＝22。 ……………………………………………………………………………8分
19.（满分8分）
解：（1）∵二次函数y＝a（x﹣h）2＋3的图象经过原点O（0，0），A（2，0）。
∴抛物线的对称轴为直线x＝0+22＝1，………………………1分
∴h＝1，
将（0，0）代入y＝a（x﹣1）2＋3得
∴0＝a＋3
∴a＝﹣3，………………………………………………………2分
∴该函数的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2＋3； ……………………………………………3分
（2）点A′是该函数图象的顶点。 …………………………………………………………4分
理由如下：
如图，过点A′作A′B⊥x轴于点B，………………………………………………………5分
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，…………………………………………………………6分
在Rt△A′OB中，
OB＝OA′·cs60°＝2×12＝1，
A′B＝OA′·sin60°＝2×32＝3，
…………………………………………………………………………………………………7分
∴A′点的坐标为（1，3），…………………………………………………………………8分
又∵抛物线的顶点坐标是（1，3），
∴点A′为该抛物线的顶点。
20．（满分8分）
解：（1）由已知得：AC＝80海里，BC＝60海里，∠1＝54°，∠2＝36°
∴∠BCA＝180°－（36°＋54°）＝90°，………………………………………………1分
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝AC2+BC2＝602+802＝100，………………………2分
∴t＝10020＝5(小时)，……………………………………………3分
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作CD⊥AB交AB于D，
在AB上取两点M，N使得CM＝CN＝50海里，
∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，
∴CD＝AC·BCAB＝80×60100＝48（海里），………………………………………………………4分
在Rt△CDM中，由勾股定理得：
DM＝CM2－CD2＝502－482＝14，………………………………………………………5分
∵CM＝CN且CD⊥AB，
∴MN＝2DM＝28（海里），……………………………………………………………………6分
∴t＝2820＝1.4(小时)， …………………………………………………………………………7分
∵1.4小时＞1.2小时，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准。 ……………………………………………8分
21．（满分9分）
解：（1）平面直角坐标系如图。
…………………………………………………………………………………………………1分
∵AB＝2.6，
∴B（2.6，0）。…………………………………………………………………………………2分
由题意得，AE＝2.6÷13×4＝0.8，CE＝0.36，
∴C（0.8，0.36）。………………………………………………………………………………3分
∵图象必过原点A
∴设抛物线的函数表达式为：y＝ax2＋bx（a≠0），
把B（2.6，0），C（0.8，0.36）分别代入，得2.62a+2.6b=0 0.82a+0.8b=0.36
解得a=-14b=1320 。…………………………………………………………………………………4分
∴抛物线的函数表达式为：y＝-14x2+1320x。（方法不唯一，也可以设交点式）…………5分
（2）由题意，相邻两栏杆的间距是：2.6÷13＝0.2。
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第t根，由题意，得：
-14×（0.2t）2＋1320 ×0.2t－［－14（0.2t＋0.2）2＋1320 ×( 0.2t ＋0.2)］＝0.2。
…………………………………………………………………………………………………6分
∴t＝7。…………………………………………………………………………………………7分
∴第7根与第8根涂色部分的高度差为0.02m。
∵抛物线的对称轴为直线x＝1.3，
∴抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间。
由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为0.02m。………………8分
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根。……………………9分
22．（满分9分）
解：过点N作NE⊥AB于点E，延长EN交DC于点F，则NF⊥CD，过点B作BG⊥CD于G，………………………………………………………………………………………………1分
如图：
由题意得：∠ENB＝45°，∠FND＝68.2°，
∵AM＝40米，CM＝20米，
∴EN＝AM＝40米，FN＝CM＝20米，
∴EF＝EN＋FN＝60（米）， …………………………………………………………………2分
∴BG＝EF＝60米， …………………………………………………………………………3分
∵∠ENB＝45°，∠BEN＝90°，
∴∠EBM＝45°＝∠ENB，
∴BE＝EN＝40米， …………………………………………………………………………4分
在Rt△DFN中，
∵tan∠DNF＝DFFN，∠DNF＝68.2°，
∴DF＝FN·tan∠DNF＝20tan68.2°≈20×2.50＝50（米），………………………………5分
∵BE＝FG＝40米，
∴DG＝DF﹣FG＝50﹣40＝10（米），………………………………………………………6分
在Rt△BGD中，由勾股定理得：
BD＝BG2+DG2＝602+102＝1037≈10×6.08＝60.8(米)。…………………………8分
答：两幢楼楼顶B，D之间的距离约为60.8米。……………………………………………9分
23.（满分12分）
解：
（1）∵AP⊥PE，
∴∠APF＝90°，
∴∠APB+∠FPC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠PCF＝∠ABP＝90°，
∴∠FPC+∠PFC＝90°，
∴∠APB＝∠PFC，……………………………………………………………………………2分
∴△ABP∽△PCF，……………………………………………………………………………3分
∴ABPC＝BPCF， ……………………………………………………………………………………4分
∴36-x＝xy2，
∴y2＝＝﹣13x2＋2x（0＜x＜6）； ……………………………………………………………5分
（2）5；………………………………………………………………………………………7分
（3）根据（2）中表格里的数据描点、连线，画出y与x之间的函数关系图如图3，
……………………………………………………………………………………………9分
（4）BP＝ 2.2（答案不唯一，两图象交点纵坐标的大约数值）或0或6 cm。 …12分
说明：第（4）问，对一项得1分。
24.（满分13分）
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x＋2）（x﹣4）（a≠0）。
把C（0，8）代入，8＝a（0＋2）（0﹣4），
解得a＝﹣1，…………………………………………………………………………………1分
∴y＝﹣（x＋2）（x﹣4）＝﹣x2＋2x＋8＝﹣（x﹣1）2＋9，
顶点D（1，9）；…………………………………………………2分
（2）设直线CD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
∵C（0，8），D（1，9）
∴8=b 9=k+b，
∴b=8k=1，
∴直线CD的解析式为y＝x＋8，……………………………………………………………3分
设M点的坐标为（x，x＋8），
∵B（4，0），
∴N点的坐标为（x+42，x+82），……………………………………………………………4分
将N（x+42，x+82）代入y＝﹣（x﹣1）2＋9
得，x+82＝﹣（x+42﹣1）2＋9
∴x2＋6x－16＝0，……………………………………………………………………………5分
∴x＝－8，x＝2，
∴x+42＝-8+42＝－2， x+82＝-8+82＝0，
∴N点的坐标为（－2，0），
∴x+42＝2+42＝3， x+82＝2+82＝5，
∴N点的坐标为（3，5），
综上，N点的坐标为（－2，0）或（3，5）。………………………………………………7分
（3）存在。……………………………………………………………………………………8分
由题意得A（－2，0），B（4，0）
假设满足条件的点P存在，
依题意设点P（2，t）。
把y＝0代入y＝x＋8，
∴x＝－8，
∴E（－8，0），
∴OE＝8，
∵C（0，8），
∴OC＝8＝OE，
∴∠CEO＝45°。……………………………………………………………………………9分
设OB的垂直平分线线交CD于H，
则H（2，10），∠PHE＝45°。
则PH＝|10﹣t|， ……………………………………………………………………………10分
点P到CD的距离为d＝22PH＝22 10-t。 …………………………………………11分
又PO＝t2+22＝t2+4。
∴t2+4＝22 10-t。
∴t2＋20t﹣92＝0，
∴t＝﹣10±83。 ……………………………………………………………………………12分
∴存在满足条件的点P，
P的坐标为（2，﹣10±83）。 ……………………………………………………………13分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
C
D
A
A
D
C
B