2024-2025学年九年级上学期数学期中满分冲刺之选择压轴题（苏科版）（含答案解析）

这是一份2024-2025学年九年级上学期数学期中满分冲刺之选择压轴题（苏科版）（含答案解析），共87页。试卷主要包含了一元二次方程的解，关于一元二次方程的代数式求值，一元二次方程的结论判断问题，一元二次方程的实际问题，求圆中的最值问题，垂径定理求线段的长，圆的有关性质及计算，点与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
考点一、一元二次方程的解
1．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+3+m）2+b=0的解是（ ）
A．-1或-4B．-2或1C．1或3D．-5或-2
2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0的解为（ ）
A．－2B．2C．-2或2D．以上都不对
3．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（ ）
A．k≠0B．k＜0C．k＜-1D．k＞0
考点二、关于一元二次方程的代数式求值
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若a是方程x2+3x-1=0的一个根，则a2+3a+2022=（ ）
A．-2021B．2023C．2021D．2022
5．（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
考点三、一元二次方程的判别式及根与系数的关系
7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（23-24八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（2024·湖北·二模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ）
A．或1B．或0C．D．1
10．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．1B．C．3或D．1或
考点四、一元二次方程的结论判断问题
11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若c是方程的一个根，则一定有成立；
③若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
12．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程有以下命题：
①若，则
②若方程的两根为和，则
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若是该方程的一个根，则一定是的一个根．
其中真命题的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．只有①B．只有②④C．只有①②③D．只有①②④
15．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④
C．①②③④D．只有①②③
考点五、一元二次方程的实际问题
16．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45B．50C．55D．60
19．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）

A．B．C．D．
20．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A．或B．1或C．或4D．1或4
考点六、求圆中的最值问题
21．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（ ）
A．27B．10C．23D．32
22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
23．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以C-2,0为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
24．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A．B．C．2D．1
25．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
考点七、垂径定理求线段的长
26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知为的直径，C为上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交于E点，若点D在上．若半径是5，，则弦的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
27．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于（ ）
A．8B．12C．16D．18
28．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
29．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
30．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（ ）
A．B．C．D．
考点八、圆的有关性质及计算
31．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（ ）．
A．2B．3C．D．
32．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的内接三角形，，D是边上一点，连接并延长交于点E．若，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
33．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，为的切线，为切点，，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．1
34．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点C是以为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），且，若，整数m的值为（ ）
A．7B．5或6C．6或7D．5或6或7
35．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
考点九、点与圆的位置关系
36．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ）
A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外
C．点A，B，D均在圆C外D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
37．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（ ）
A．4B．7C．11D．15
考点十、利用直线与圆的位置关系求半径的范围
38．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点C按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3 次B．4 次C．5 次D．6 次
39．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D是上的一动点．当点D到弦的距离最大时，点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
40．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点十一、切线的性质与判定
41．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D．过点C作，在上取一点E，使，连接．对于下列结论：①；②；③为的切线；④，其中一定正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
42．（2022·河北石家庄·一模）如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；
乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）

A．甲、乙两人的作法都正确B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误D．甲的作法错误，乙的作法正确
43．（2019·江苏常州·二模）如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④．其中一定成立的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
考点十二、切线长定理的综合
44．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
45．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）

A．B．C．D．
46．（2023·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（ ）
A．只有甲正确B．只有乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误
47．（2023·山东济南·三模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积和是( )
A．B．C．D．
考点十三、三角形的内心与内切圆
48．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）

A．8B．9C．10D．11
49．（2024·四川南充·三模）如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，与交于点，与交于点，为的直径．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
50．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（）
A．B．C．D．
51．（22-23九年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）
A．，)B．(，)C．(，)D．，)
考点十四、三角形的外接圆及外心
52．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（ ）

A．B．C．4D．
53．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
54．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
55．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，I为内心，P为的外接圆上一点，于点E，于点F．设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
56．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，且，点P为的内心，点O为边中点，将绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考点十五、正多边形与圆
57．（22-23九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（ ）

A．B．C．D．
58．（2024九年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
59．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（ ）

A．B．C．D．
60．（2024·江苏苏州·二模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）

A．B．C．D．
61．（2024·江苏常州·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列个结论①，②，③，④其中成立的结论是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
62．（2024·江苏扬州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
考点十六、扇形的有关计算
63．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
64．（21-22九年级上·广西玉林·期末）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
65．（2024·广东深圳·模拟预测）每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．
66．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ）

A．1B．C．D．2
67．（2024·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A．B．C．D．
考点十七、圆锥的有关计算
68．（2024·甘肃武威·三模）如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
69．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．C．D．
70．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3B．4C．D．2
参考答案
考点一、一元二次方程的解
1．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．或B．或1C．1或3D．或
【答案】D
【分析】本题考查方程的解．
把方程a（x+3+m）2+b=0中的x+3看成整体，根据关于x的方程a（x+m）2+b=0的解可得x+3=-2或x+3=1，求解即可．
【详解】∵关于x的方程a（x+3+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，
∴方程a（x+3+m）2+b=0变形为a[（x+3）+m]2+b=0，
此方程的中x+3=-2或x+3=1，
解得x1=5，x2=-2，
∴方程a（x+m）2+b=0的解为：x1=5，x2=-2．
故选：D
2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0的解为（ ）
A．－2B．2C．-2或2D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令y-1=t，则at2+bt+c=0，得出t1=1，t2=-3，即可解答．
【详解】解：令y-1=t，
则方程a（y-1）2+b（y-1）+c=0可改写为：at2+bt+c=0，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，
∴t1=1，t2=-3，∴y-1=1或y-1=-3，
解得：y=2或-2，故选：C．
3．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据有一根小于1，一根大于1建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：，
，
解得，，
这个方程有一根小于1，一根大于1，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
考点二、关于一元二次方程的代数式求值
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，把代入方程得到，再把代入代数式即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将方程 的两边都除以得，进而得出a，为方程的两个实数根，最后根据根与系数的关系进行求解．
【详解】由题意可知，将方程的两边都除以得，
∵，，
∴，为方程的两个实数根，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，将方程变形，进而得出a，为方程的两个实数根是解题的关键．
6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把x=m代入方程求出m2-m-2=0，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将x=m代入原方程得：m2-m-2=0，∴m2-m=2，
则2023-m2+m=2023-（m2-m）=2023-2=2021，故选：B．
考点三、一元二次方程的判别式及根与系数的关系
7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
为整数，
的最大值为4，
故选：A．
8．（23-24八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，
③∵，
∴方程的根为，
∴，，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
9．（2024·湖北·二模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ）
A．或1B．或0C．D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，先根据根的情况得出判别式为非负数，求出m的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，根据，得出或，然后代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵一元二次方程有两个实数根和，
∴，
∵，
∴或，
当时，，解得；
当，即时，，解得，
综上，，
故选：D．
10．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．1B．C．3或D．1或
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
，
解得：或，
当时，原方程为，，
则原方程有实数根，符合题意；
当时，原方程为，，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上：．
故选：A．
考点四、一元二次方程的结论判断问题
11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若c是方程的一个根，则一定有成立；
③若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式，等式的性质是解决本题的关键．
根据一元二次方程的根的含义可判断②③，一元二次方程的根的判别式可判断①，从而可得答案．
【详解】解：①当时，，
那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
此时成立，①正确．
②若c是方程的一个根，则．
当，则；
当，则不一定等于0，②不一定正确．
③由是一元二次方程的根，得，
∴，即，
∴，则③正确．
故选：C．
12．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程有以下命题：
①若，则
②若方程的两根为和，则
③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；
④若是该方程的一个根，则一定是的一个根．
其中真命题的个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解．
【详解】解：命题①，当x=-1时，一元二次方程为，
∴x=-1是方程的解，即方程有实数解，
∴，原命题为真命题；
命题②，当时，一元二次方程为，当x=1时，一元二次方程为，
∴联立方程组得，
∴解得，，
∴，原命题为真命题；
命题③，一元二次方程有两个相等的实根，
∴，
∵，则，
∴，
∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根，
∴原命题是假命题；
命题④，一元二次方程的一个根式，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
若是根，则，
∴，
∴原命题为真命题；
综上所述，是真命题的有①②④，共3个，
故选：B ．
13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③．
【详解】解：①，
方程有两个相等的实数根．
①正确；
②一元二次方程（为常数）最多有两个解，
②错误；
③方程的解为，
将代入得，即：，
将代入得，即：，
∴，则，
即：
③正确．
故选：B．
14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．只有①B．只有②④C．只有①②③D．只有①②④
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案．
【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意；
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意；
③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；
④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意．
正确的结论为②④，
故选：B．
15．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④
C．①②③④D．只有①②③
【答案】B
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可．
【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确；
若方程有两个不相等的实根，则：，
则：的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
若是方程的一个根，则，
当时，，故③错误；
若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故选B．
考点五、一元二次方程的实际问题
16．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形直观得到面积之间的关系并用代数式表示出来是解答本题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系即可解答．
【详解】解：方程，即的拼图如图所示：
中间小正方形的边长，其面积为25，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，D选项所表示的图形符合题意．
故选：D．
17．（2024·安徽马鞍山·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
18．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45B．50C．55D．60
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
19．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键．
设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2．
则，，，
则．
∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为，
∴，
∴，
∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为
故选：C．
20．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A．或B．1或C．或4D．1或4
【答案】A
【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键．
根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可．
【详解】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，
由②
由得：，
解得：，，
故选：A．
考点六、求圆中的最值问题
21．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（ ）
A．27B．10C．23D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离．
求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点，
过C作于M，连接，
∴，
∴，
当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大，
即，
∴面积的最大值，
故选：D．
22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答．
【详解】解：设量角器刻度处为点G，如图，
则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，
∵点E为中点，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点F为弧上一动点，
∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值．
∴的最小值为．
故选：C．
23．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以C-2,0为圆心，1为半径的上运动，点Q是的中点，则长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题,三角形中位线定理,圆的性质等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．连结，根据反比例函数的中心对称性可得，即得是的中位线，所以，当经过圆心C时，取得最大值，最大值为，求出，的值，即得答案．
【详解】连结，
正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，
点A与点B关于原点O对称，
，
点Q是AP的中点，
是的中位线，
，
当经过圆心C时，取得最大值，最大值为，
联立，
解得或，
，
，
，
点P在1为半径的上运动，
，
，
长的最大值为．
故选A．
24．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．
连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故选：D．
25．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为5，P为上任意一点，E是的中点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
如图，连接，取的中点H，连接，利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆，进而求解即可．
【详解】解：如图，连接，，取的中点H，连接，．
∵点E是的中点，点H是的中点，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2.5的圆，
，，
，
，
的最小值．
故选B．
考点七、垂径定理求线段的长
26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知为的直径，C为上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到，交于E点，若点D在上．若半径是5，，则弦的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，线段垂直平分线的判定定理，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；连接、，，连接交于，由旋转的性质得，，与是等圆，由三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得求出，由勾股定理求出，据此即可求解．
【详解】解：如图，连接、，，连接交于，
半径是5，，
，
，
，
由旋转得：，
，
与是等圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：C．
27．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于（ ）
A．8B．12C．16D．18
【答案】B
【分析】根据题意连接，过作，利用角平分线定义得，继而得到，再得到四边形为矩形，再设，则，利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接，过作，垂足为，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
设，则，
∵的直径为20，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
即，
解得．
∵，故舍去，
∴，
∴，
∵，由垂径定理知，F为的中点，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定及性质，矩形判定及性质，勾股定理，垂径定理等．
28．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出是解题的关键．
当P为的中点时最短，则，由勾股定理求出的长；当P与A或B重合时，最长，得出的范围，再由为整数，得到所有可能的长即可．
【详解】解：连接，
当P为的中点时，
则，
由垂径定理得：，此时最短，
在中，，，
由勾股定理得：，
即的最小值为3，
当P与A或B重合时，最长，此时，
∵是弦上的动点（不含端点，）
∴，
若线段的长度为正整数，
∴或．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个，
故选：A．
29．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，过点O作于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的范围，计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点，
则，
由勾股定理得：，
则，
∴线段的长度为整数的值有6、7、8、9共4个，
故选：C．
30．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接，
∴，，
∴，
设该圆的半径长是，则，，
在中，由勾股定理得，解得，
∴该圆的半径长是，
故选：．
考点八、圆的有关性质及计算
31．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（ ）．
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据圆内接四边形对角互补得到，根据得到结合角平分线得到，即可得到：，从而得到，结合勾股定理即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键．
32．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的内接三角形，，D是边上一点，连接并延长交于点E．若，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
连接，，，根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：连接，，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
即的半径为，
故选：A．
33．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，为的切线，为切点，，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和全等三角形的判定与性质．连接，如图，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，再证明得到，然后利用得到．
【详解】解：连接，如图，
为的切线，为切点，
，
，
为直径，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：B
34．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点C是以为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），且，若，整数m的值为（ ）
A．7B．5或6C．6或7D．5或6或7
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角、勾股定理，先把边长设出来，根据直径所对的角为直角，以及勾股定理可得到结果，注意设出来的边长为整数．
【详解】设，则，
∵点C是以为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C是以为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴，
∴，
∴，
又∵m为整数，
∴当或时，m为整数6或7，
故选：C．
35．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的内角和和外角性质等知识，根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④．
【详解】解：∵点E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分，
∵点G为的中点，
∴点G为与的交点，即，故②正确；
∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的有3个，
故选：B．
考点九、点与圆的位置关系
36．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ）
A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外
C．点A，B，D均在圆C外D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
【答案】D
【分析】本题考查了含有角的直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系．由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半，即与，利用勾股定理即可求解出，再根据点与圆的位置关系判断即可
【详解】在中，，则，
∵，
∴．
∴．
圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，
，
点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
故选：D．
37．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（ ）
A．4B．7C．11D．15
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵，，，
∴，，，
∴，
由题意可知，，
则点在以点为圆心，以5为半径的圆上，
∴当点在线段上时，取最小值，
此时，
当点在线段的延长线上时，取最大值，
此时，
∴的取值范围为，
∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
考点十、利用直线与圆的位置关系求半径的范围
38．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点C按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3 次B．4 次C．5 次D．6 次
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
；
；
是等边三角形，为等边三角形的高，
，
又∵的半径为1，
∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图：
故选 C．
39．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D是上的一动点．当点D到弦的距离最大时，点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时
点D到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵点,
∴,
过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点D到弦的距离最大，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴点D到弦的距离最大为，
∴点D的坐标为，
故选A．
．
40．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围．
【详解】解：作于D，如图所示：
∵，
∴，
∵的面积，
∴，即圆心C到的距离，
∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：．
故选：D．
考点十一、切线的性质与判定
41．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D．过点C作，在上取一点E，使，连接．对于下列结论：①；②；③为的切线；④，其中一定正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，圆的切线的判定，圆的性质，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵，以为直径的交于点D．
∴，，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴是三角形的中线，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线，
故③正确；
无法判断，
故④错误，
故选B．
42．（2022·河北石家庄·一模）如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；
乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）

A．甲、乙两人的作法都正确B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误D．甲的作法错误，乙的作法正确
【答案】A
【分析】对于甲先证明是等边三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性质得到，则，即可证明是的切线；
对于乙由直径所对的圆周角是直角得到，则，进而得到，则，即可证明是的切线．
【详解】解：甲正确．
理由：如图1中，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
乙正确．
理由：∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
故选：A．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
43．（2019·江苏常州·二模）如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④．其中一定成立的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】①易证△CDE≌△CDF，得CE＝CF；
②∠ACB+∠ACE＝180°，根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，所以∠ACB＝∠EDF；
③无法证明DE是切线；
④根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE＝∠DAB，所以∠DAB＝∠DCA，根据圆周角定理判断．
【详解】解：①∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF，得CE＝CF．故成立；
②∵∠ACB+∠ACE＝180°，
根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF＝180°，
∴∠ACB＝∠EDF，故成立；
③连接OD、OC．则∠ODC＝∠OCD．
假如DE是切线，则OD⊥DE，
∵BE⊥DE，
∴OD∥BE，∠DCE＝∠ODC＝∠OCD，
而∠DCE＝∠DCA，∠OCD≠∠DCA，
故DE不是切线；
④连接AD,根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠DCA，根据圆周角定理判断弧AD＝弧BD．故成立．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定,圆周角定理,切线的判定,圆的内接四边形,考查知识点较多,综合性强,熟悉圆的有关性质和定理是解题关键.
考点十二、切线长定理的综合
44．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，则，
∵，且，，，
∴，
解得，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：．
45．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
，
∵与，，分别相切于点，，，
∴，，，，，
∴，，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴，
故选：．
46．（2023·浙江杭州·二模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的的是（ ）
A．只有甲正确B．只有乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误
【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答的周长最小时，将三角形的各边都用表示，并根据垂线段最短来判断．连接，过点作于，于，依据“”判定和全等，从而得出，然后再根据四边形的内角和等于即可对甲的说法进行判断；过点作于点，则，根据得，进而得，据此得的周长为，只有当最小时，的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断．
【详解】解：连接，过点作于，于，
点为的内心，
是的平分线，
又，，
，
在和中，
，
，
，
在四边形中，，
，
又，
，
即：，
，
即：，
故甲的说法正确；
过点作于点，
，
是的平分线，，
，
又甲的说法正确；
，
，
在中，，
，
，
的周长为：，
当最小时，的周长为最小，
根据“垂线段最短”可知：当时，的周长为最小，
，
与一定不垂直，
不是最小，
的周长不是最小，
故乙的说法不正确．
故选：A．
47．（2023·山东济南·三模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积和是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心；根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解
【详解】解：
是的内切圆，切点分别为，，，
图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，
、分别是、的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
考点十三、三角形的内心与内切圆
48．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（ ）

A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，

∵点I为的内心，
∴以为半径的圆I是的内切圆，
∴，，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
49．（2024·四川南充·三模）如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，与交于点，与交于点，为的直径．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接，由切线长定理得，，则，，由为的直径，得，，则，，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
，分别与相切于点，，
，，
，，
为的直径，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
故选：B．
50．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理．
当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题．
【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P，
∵四边形是正方形，
∴，
∴分别是半圆的切线，
∴，
设，则，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴娱乐区的最大面积梯形的面积．
故选：C．
51．（22-23九年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）
A．，)B．(，)C．(，)D．，)
【答案】C
【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作轴于E，轴于H，连接，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，由切线长定理可知．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键．
【详解】解：如图，作轴于E，轴于H，连接，
∵，，
∴，，轴，
∴AB为的切线，
∵直线与切于点C，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴，，
∵
∴，
∴=，
在中，，
∴C点坐标为(，)．
故选：C．
考点十四、三角形的外接圆及外心
52．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（ ）

A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，

∵点O为的外心，
∴，点B和点C的位置如图所示，
∴，
故选：A．
53．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，
，．
过点作于点，则，
连接，，则，
，
．
，
，
∴，
在中，，，
∴，
．
故选：A．
54．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
连接，得出是等腰直角三角形，求出，连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值．中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
点在以点为圆心，长为半径的劣弧上运动，
，
劣弧所对的圆周角为，
是等腰直角三角形，
，
，
连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值．
，
，
，
，
长的最小值为2．
故选：A．
55．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，I为内心，P为的外接圆上一点，于点E，于点F．设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内心，圆内接四边形，根据内心为三角形的三条角平分线的交点，求出的度数，圆内接四边形结合四边形的内角和为360度，推出，即可得出结果．
【详解】解：∵在中，I为内心，，
∴平分，平分，，
∴，
∴，
∴，
∵P为的外接圆上一点，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
56．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，且，点P为的内心，点O为边中点，将绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在的下方作等腰，使得．连接，过点K作交的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出，可得结论．
【详解】解：在的下方作等腰，使得．连接，过点K作交的延长线于点T．
∵点P是的内心，，
∴，
∴，
∴，
∴点P在以K为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
考点十五、正多边形与圆
57．（22-23九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键．
58．（2024九年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】B
【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可．
【详解】解：如图，连接，
根据，当D，E，O三点共线时，最小；
∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上，
∴，，
∴，
∵正六边形的边长为2，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键．
59．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可．
【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则，
点是正六边形的中心，
，
，
是正三角形，
，
在中，，，
，
，
四边形的周长是，
故选：C
60．（2024·江苏苏州·二模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正余弦定理的应用，等腰三角形的性质，先根据题意得出顶角，再由等腰三角形性质可知，表示出，通过周长近似即可求解．
【详解】解：如图：圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形，其顶角，过点O作，垂足为C，

设，
，
，
在中，，
，
∴由“割圆术”可得圆周率的近似值，
故选：D．
61．（2024·江苏常州·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列个结论①，②，③，④其中成立的结论是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【分析】如图，连接AB、、CD、DE、，令正五边形的外接圆为，由五边形是正五边形及弦弧的关系，得，从而得，，，故①正确，同理可得：，，根据相似三角形的判定及性质得，即，从而，故②正确，同理可得，进而得，于是，故③正确，由，得，故④错误．
【详解】解：如图，连接AB、、CD、DE、，令正五边形的外接圆为，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，即
∴，，故①正确，
同理可得：，，
∴，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），故②正确，
同理可得，
∴，
∴，
∴
∴，故③正确，
∵，
∴
∴，故④错误，
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正多边形的性质，圆弧弦之间的关系，相似三角形的判定及性质，熟练掌握正多边形的判定及性质是解题的关键．
62．（2024·江苏扬州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，
不妨设圆的半径为，
过作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故选：C．
考点十六、扇形的有关计算
63．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积．
【详解】解：连接，，，，与交于，
由折叠性质可得，，，，
，
，，
∴，是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
故选：D．
64．（21-22九年级上·广西玉林·期末）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】解：连接，交于E，
∵沿对折O和Q重合，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
65．（2024·广东深圳·模拟预测）每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
根据弧长公式列式计算即可．
【详解】解：由题意得，轨迹长为：．
故选：A．
66．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ）

A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，

∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴等边的面积为，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴等边三角形的边长为，
故选：A．
67．（2024·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可．
【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，
由题意得，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
考点十七、圆锥的有关计算
68．（2024·甘肃武威·三模）如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧AB的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高．
【详解】如图，过点作，垂足为，交于点，
由折叠的性质可知，，则
由此可得，在中，，
同理可得，
在中，由三角形内角和定理，得．
弧AB的长为．
设围成的圆锥的底面半径为，则，
．
圆锥的高为．
故选A．
69．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，

∵为底面圆的直径，，
设半径为r,
∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，
∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，
解得：，
∴，
∵半径，
∴是等边三角形，
在中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
70．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3B．4C．D．2
【答案】B
【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．
【详解】解：如图:
∵，
∴设弧所对的圆心角的度数为n，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．