湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年上学期第一次月考八年级数学试卷

这是一份湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年上学期第一次月考八年级数学试卷，文件包含湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年八上第一次月考数学试卷解析版docx、湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年八上第一次月考数学试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的定义，过C点画AB的垂线，即一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C．
【解答】解：用三角板作△ABC的边AB上的高线，摆放位置正确的是．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
4．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝70°，则∠A的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，然后与∠A﹣∠B＝70°联合求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∠A﹣∠B＝70°，
∴∠A=12（90°+70°）＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余．
5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．50°B．55°C．65°D．25°
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．5
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，而2+2＜5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
7．下列条件中，不能判定△ABC与△DEF一定全等的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝90°
B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝80°
C．AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，∠B＝∠E＝40°
D．BC＝EF，∠A＝∠D＝80°，∠B＝∠E＝40°
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝90°，∴根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，不符合题意；
B、∵AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D＝80°，根据ASS不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C、∵AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，∠B＝∠E＝40°，∴利用ASA能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D、∵BC＝EF，∠A＝∠D＝80°，∠B＝∠E＝40°，∴利用AAS能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
8.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO，若∠AOD＝55°，则∠BAC＝（ ）．
A．35°B．55°C．60°D．70°
故选：D．
9.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180°B．360°C．270°D．540°
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠1与∠E、∠F的关系，∠1、∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：如图延长AF交DC于G点，
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠1＝∠E+∠F，∠2＝∠1+∠D，
由等量代换，得∠2＝∠E+∠F+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．
10．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（ ）
A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知小球P走过的路径为：
根据入射角等于反射角可知应瞄准AB边上的点O2．
故选：B．
【点评】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想．
二．填空题（共6小题）
11．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用测量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 SSS （用字母表示）．
【分析】根据SSS即可证明△DHE≌△DHF，可得∠DEH＝∠DFH．
【解答】解：在△DHE和△DHF中，
DH=DHDE=DFEH=FH，
∴△DHE≌△DHF（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
12．正五边形的外角和为 360° ．
【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．
【解答】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．
13．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α＝ 75° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：∠α＝45°+30°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
已知点P（a+1，a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜3 ．
【分析】点P（a+1，a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则点P（a+1，a﹣3）在第四象限，符号为（+，﹣）．
【解答】解：依题意得p点在第四象限，
∴a+1＞0a−3＜0，
解得：﹣1＜a＜3．
故答案为：﹣1＜a＜3．
【点评】查了第一象限的点关于x轴对称的点在第四象限，要学会发散性思考，可以由此题联想到更多的点关于某一坐标轴对称的性质．
15．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 80 海里．
【分析】根据平角的性质得到∠NPM＝180°﹣70°﹣40°＝70°，根据平行线的性质得到∠M＝70°，求得∠NPM＝∠M，根据等腰三角形的性质健康得到结论．
【解答】解：∵∠NPM＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵向北的方向线是平行的，
∴∠M＝70°，
∴∠NPM＝∠M，
∴NP＝MN＝40×2＝80（海里），
故答案为：80．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出NP＝MN，题目比较好，难度适中．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为 126° ．
【分析】连接AD、DE，如图，设∠C＝α，利用基本作图得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C＝α，所以∠AED＝2α，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝90°−12α，接着利用AB＝AD得到∠ADB＝∠B＝90°−12α，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°求出α＝36°，然后利用三角形外角性质计算∠AEG的度数．
【解答】解：连接AD、DE，如图，设∠C＝α，
由作法得EF垂直平分CD，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝α，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝2α，
∵CA＝CB，
∴∠B=12（180°﹣∠C）＝90°−12α，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝90°−12α，
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴90°−12α+2α+α＝180°，
解得α＝36°，
∴∠AEG＝90°+∠C＝90°+36°＝126°．
故答案为126°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
三．解答题（共10小题）
17．（1）计算：(−1)2024+|5−2|+3−8+(−3)2． （2）化简：2（3a2﹣ab+7）+（a2+2ab﹣14）．
【分析】（1）首先计算有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，然后计算加减．（2）先去括号，然后合并同类项．
【解答】解：（1）(−1)2024+|5−2|+3−8+(−3)2
=1+5−2+(−2)+3
=5．
（2）2（3a2﹣ab+7）+（a2+2ab﹣14）
＝6a2﹣2ab+14+a2+2ab﹣14
＝7a2．
【点评】此题考查了有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项，解题的关键是掌握以上知识点．
18．解方程组和不等式组：
（1）4x−3y=53x+2y=8．
（2）x−(3x−2)≤41−2x4＜1−x．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）4x−3y=5①3x+2y=8②，
①×2+②×3，得：17x＝34，
解得x＝2，
将x＝2代入②，得：6+2y＝8，
解得y＝1，
∴方程组的解为x=2y=1；
（2）解不等式x﹣（3x﹣2）≤4，得：x≥﹣1，
解不等式1−2x4＜1﹣x，得：x＜1.5，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜1.5．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数．
【分析】一个多边形的外角和是内角和的27，任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
依题意得：27（n﹣2）180°＝360°，
解得n＝9．
答：这个多边形的边数为9．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A、B、C关于x轴的对称点A2、B2、C2的坐标；
（3）求出△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）作出三个顶点关于x轴的对称点，再结合图形可得答案；
（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，A2（﹣2，﹣3），B2（﹣3，﹣2），C2（﹣1，﹣1）；
（3）△ABC的面积为2×2−12×1×2−12×1×2−12×1×1=32．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
21．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝2，b＝3，设△ABC的周长是x．
（1）求x的取值范围．
（2）若x是小于9的整数，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可；
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝3，
∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5，
∴2+3+1＜x＜2+3+5，即6＜x＜10，
∴x的取值范围是6＜x＜10；
（2）△ABC是等腰三角形．
理由：∵x是小于9的整数，
又∵6＜x＜10，
∴x＝7或x＝8，
当x＝7时，c＝7﹣2﹣3＝2，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
当x＝8时，c＝8﹣2﹣3＝3，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
综上所述，△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和三角形三边关系，求出c的取值范围是解题的关键．
22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB＝3，AC＝2，△ABC的面积是4，求DE．
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）85．
【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再由Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE＝AF，从而证明结论；
（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AB•ED+12AC•DF=12DE（AB+AC）＝4，
∵AB＝3，AC＝2，
∴DE=85，
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高．
（1）若∠ABC＝∠ACB＝15°，请证明：CD=12AB；
（2）若∠ABC＝30°，CD＝3，BD=33，点E是BC边上的中点，求AC+AE的最小值．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）33．
【分析】（1）利用等腰三角形的判定，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解决问题；
（2）延长CD到C'，使C'D＝CD＝3，连接AC'，C'E，推出AC+AE的最小值为C'E，再证明C'E＝BD，因此求出BD的长即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB＝15°，
∴AC＝AB，∠CAD＝30°，
∵CD是AB边上的高，
∴CD=12AC，
∴CD=12AB；
（2）解：延长CD到C'，使C'D＝CD＝3，连接AC'，C'E，如图，
∵CD是AB边上的高，
∴BD是CC'的垂直平分线，
∴AC'＝AC，
∴AC+AE＝AC'+AE≥C'E，
即AC+AE的最小值为C'E，
∵∠ABC＝30°，CD＝3，
∴BC＝2CD＝6，
∵点E是BC边上的中点，
∴CE＝3＝CD，
又∵BC＝C'C＝6，∠BCD＝∠C'CE，
∴△BCD≌△C'CE（SAS），
∴BD＝C'E，
∵BD=33，
∴BD＝C'E=33，
即AC+AE的最小值为33．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的判定，30°角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，能将两线段和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键．
24．已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0）．其中x是方程x−3+3−x=0的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO度数；
（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值：若变化，求出其变化的范围．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性，即可求解；
（2）证明△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四边形内角和定理可求解；
（3）证明△ABG≌△OBF，可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．
【解答】解：（1）∵x−3+3−x=0，且x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴点 A的坐标为（3，0）；
（2）∵△ACD，△ABO是等边三角形，
∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，
∴∠CAO＝∠BAD，
∵AO＝AB，AD＝AC，
∴△CAO≌△DAB（SAS），
∴∠DBA＝∠COA＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AOE+∠ABE+∠OAB+∠BEO＝360°，
∴∠BEO＝120°；
（3）GH﹣AF的值不会发生变化；理由如下：
∵△ABC，△BFG是等边三角形，
∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，
∴∠OBF＝∠ABG，
∵OB＝AB，BF＝BG，
∴△ABG≌△OBF（SAS），
∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，
∴AG＝OF＝OA+AF＝3+AF，
∵∠OAH＝180°﹣∠OAB﹣∠BAG，
∴∠OAH＝60°，
∵∠AOH＝90°，OA＝3，
∴AH＝6，
∴GH﹣AF＝AH+AG﹣AF＝6+3﹣AF﹣AF＝9．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了算术平方根的非负性，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
25．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
（1）求证∠ABE＝∠ACD；
（2）如图2，过点A作AF⊥BE于点G，交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE于点P，交CD于点H．
①猜想∠AFB与∠HFC的数量关系，并证明；
②探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题干条件即可直接证得△ACD≌△ABE，从而证得∠ABE＝∠ACD；
（2）①由（1）可知∠ABE＝∠ACD，从而可得∠EBC＝∠DCB，结合AF⊥BE，FP⊥CD，可知∠FDB＝∠FHC＝90°，从而可得∠AFB＝∠HFC；
②过点C作CM⊥AC交AF的延长线于点M，延长FP交AC于点N，先证△ABE≌△CAM，可得BE＝AM，∠M＝∠BEA，从而可证△NFC≌△MFC，可得FM＝FN，∠M＝∠FNC，从而可得∠FNC＝∠BEA，PN＝PE，即可推出BP＝AF+FP．
【解答】（1）证明：由题可得：
在△ACD与△ABE中，
AD=AE∠BAC=∠BACAB=AC，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）解：①∠AFB＝∠HFC，
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知：∠ABE＝∠ACD，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵AF⊥BE，FP⊥CD，
∴∠FDB＝∠FHC＝90°，
∴∠AFB＝∠HFC；
②BP＝AF+FP，
证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF的延长线于点M，延长FP交AC于点N，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+FAC＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAF+∠ABG＝90°，
∴∠FAC＝∠ABG即∠MAC＝∠ABE，
∵∠ACM＝∠BAE＝90°，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴BE＝AM，∠M＝∠BEA，
∵∠BFA＝∠MFC＝∠NFC，FC＝FC，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴△NFC≌△MFC（ASA），
∴FM＝FN，∠M＝∠FNC，
∴∠FNC＝∠BEA，
∴PN＝PE，
∴BP＝BE﹣PE
＝AM﹣PE
＝AF+FM﹣PE
＝AF+FN﹣PN
＝AF+FP．
【点评】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．