2024-2025高一上期中考试复习数学讲义——常用逻辑用语

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模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用
题型二：全称量词命题与存在量词命题
题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)
题型四：充要条件的证明或探求
题型五：命题的否定
题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③方程思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用
例1．（天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例2．（重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题）若，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
例3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例4．（2024·天津河北·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例5．（2024·高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：全称量词命题与存在量词命题
例7．（2024·高一·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·高一·广东广州·阶段练习）下列命题中真命题的个数是（ ）
①；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
③x是无理数}，是无理数．
A．0B．1C．2D．3
例9．（2024·高一·北京通州·期中）给出下面四个命题：
①，；
②，；
③，的个位数字等于3；
④，.
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例10．（2024·高一·全国·课后作业）以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数，使
例11．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A．至少有一个，使得成立B．菱形的两条对角线长度相等
C．，D．对任意，，都有
例12．（2024·高一·河北·阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．每一个命题都能判断真假
B．存在一条直线与两条相交直线都平行
C．对任意实数，若，则
D．存在，使
题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)
例13．（2024·高一·海南海口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ．
例14．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
例15．（2024·高一·江西南昌·期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
间题：已知集合．
(1)当时，求；
(2)若___________，求实数的取值范围．
例16．（2024·高一·山东菏泽·期中）设全集，集合，．
(1)若，求集合；
(2)若“”是“”必要条件，求实数m的取值范围．
例17．（2024·高一·福建莆田·期中）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
例18．（2024·高一·河北保定·期中）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
例19．（2024·高一·湖北襄阳·期中）已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围.
例20．（2024·高一·云南红河·阶段练习）已知命题：方程没有实数根，若是真命题，实数的取值集合为．
(1)求实数的取值集合；
(2)集合，若是的必要条件，求的取值范围．
例21．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合，.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)设p:;q:，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
题型四：充要条件的证明或探求
例22．（2024·高二·全国·专题练习）已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为 ．
例23．设，一元二次方程有整数根的充要条件是
例24．（2024·高一·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.
例25．（2024·高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．
(1)计算；
(2)证明，“或”是“”的充要条件．
例26．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
例27．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．
题型五：命题的否定
例28．（2024·高一·云南昆明·期末）命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
例29．（2024·高一·江苏·假期作业）命题“”的否定是（ ）
A．不存在B．
C．D．
例30．（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2024·高一·四川成都·阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例32．（2024·高三·湖北黄冈·期末）若：所有实数的平方都是正数，则为（ ）
A．所有实数的平方都不是正数B．至少有一个实数的平方不是正数
C．至少有一个实数的平方是正数D．有的实数的平方是正数
题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题
例33．（2024·高一·湖北·期中）已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围．
例34．（2024·高一·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
例35．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合，.
(1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围.
(2)“命题：，”是假命题，求的取值范围.
例36．（2024·高一·山东菏泽·阶段练习）已知命题，，若p为假命题，求a的取值范围.
例37．（2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，．
(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．
例38．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知集合，．
(1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
(2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围．
例39．（2024·高一·吉林长春·阶段练习）已知集合，且.
(1)若“”是真命题，求实数m的取值范围.
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想
例40．（2024·高一·江苏南通·期中）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ．
例41．（2024·高一·江西南昌·期中）已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
例42．已知集合，，全集
当时，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
例43．设集合，
若，求a的值；
设条件p：，条件q：，若q是p的充分条件，求a的取值范围．
例44．已知集合，在①②"”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题．
当时，求
若__________，求实数a的取值范围．
②转化与化归思想
例45．（2024·高三·全国·竞赛）设，集合．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例46．（2024·高一·江西景德镇·期中）已知，或．
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围；
(2)若p是的必要不充分条件，求实数k的最大值．
例47．（2024·高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件.
③方程思想
例48．已知，，，，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围．
例49．已知，命题，命题，
若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
若命题q为真命题，求实数a的取值范围．
例50．已知，关于x的一元二次方程①和②，求方程①和②的根都是整数的充要条件．
例51．已知，命题存在，不等式成立，若p为真命题，求m的取值范围．