山东省实验中学2023届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.
2．本试卷满分150分，时间120分钟.
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一个正四棱台形油槽可以装煤油，若它的上､下底面边长分别为和，则它的深度约为（ ）
A. B. C. D.
5. 某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知定义在上的函数的图象连续不间断，有下列四个命题：
甲：是奇函数； 乙：的图象关于点对称；
丙：； 丁：；
如果有且仅有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7. 已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据的众数和第60百分位数都为5
B. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
C. 若随机变量服从二项分布，则方差
D. 若随机变量服从正态分布，则
10. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 点是图象的一个对称中心
C. 在上单调递减
D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象
11. 过直线上一点作圆的切线,切点分别为,则（ ）
A. 若直线,则
B. 的最小值为
C. 直线过定点
D. 线段的中点的轨迹长度为
12. 已知在三棱锥中，，，，，设二面角的大小为，是的中点，当变化时，下列说法正确的是（ ）
A. 存在，使得
B. 存在，使得平面
C. 点在某个球面上运动
D. 当时，三棱锥外接球的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中项的系数是__________.
14. 若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为__________.
15. 已知直线是曲线与的公切线，则__________.
16 已知数列满足：，记，且，则整数_____．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足：
（1）求证：是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求
18. 记中，角所对边分别为，且
（1）求最小值；
（2）若，求及的面积.
19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面.
（1）证明：；
（2）若为上的点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的值.
20. 2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.
（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列期望；
（2）现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以获得冠军的概率.
21. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
（1）求的方程；
（2）若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
22. 已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个零点，求的范围，并证明