四川省成都市嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(Word版附解析)
展开注意事项
1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效;在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题:
1. 直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线方程求出直线的斜率,从而可求出直线的方向向量.
【详解】由题意,得直线的斜率为,
可得直线的一个方向向量为,
因为选项ABD中的向量均与向量不共线,所以C正确.
故选:C
2. 已知直线,,若且,则的值为( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.
【详解】由题意,,,,
所以.
故选:C.
3. 总体由编号为01,02,…,30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体,选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始,由左到右一次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
(第一行)1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
(第二行)1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A. 20B. 26C. 17D. 03
【答案】D
【解析】
【分析】先把编号按要求在随机数表中选出来,再剔除掉总体编号以外的编号,以及重复的编号,即可得到选出的个体编号.
【详解】从随机数表第1行的第3列开始,由左到右一次选取两个数字,
选出的编号依次为:12,13,40,33,20,38,26,13,89,51,03,…,
剔除掉总体编号以外的编号,以及重复的编号,
则选出来的个体的编号依次为:12,13,20,26,03,…,
所以选出来的第5个个体的编号为03.
故选:.
4. 已知,若不能构成空间的一个基底,则( )
A. 3B. 1C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.
【详解】若不能构成空间的一个基底,
共面,
存在,使,
即,
解得,
故选:.
5. 某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制,即先胜两局的一方获得比赛的胜利,比赛结束.根据以往的数据分析,每局比赛甲胜出的概率都为,比赛不设平局,各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】甲战胜乙包含两种情况:①甲连胜2局,②前两局甲一胜一负,第三局甲胜,由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲战胜乙的概率.
【详解】结合题意:甲队战胜乙队包含两种情况:
甲连胜2局,概率为,
前两局甲一胜一负,第三局甲胜,概率为,
则甲战胜乙的概率为.
故选:D.
6. 在长方体中,为的中点,点为线段的中点,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量法求点到线的距离.
【详解】如图建立空间直角坐标系,则,
所以,
设点到直线的距离为,
则,
故选:D
7. 已知直线的方程为,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件,分和两种情况讨论,再结合的图像,即可求出结果.
【详解】当时,直线的倾斜角为,
当时,由得到,
又易知,所以,即,
由的图像可知,,
综上,
故选:C.
8. 设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值( )
A. B. C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据动直线方程求出定点的坐标,并判断两动直线互相垂直,进而可得 ,最后由基本不等式即可求解.
【详解】解:由题意,动直线过定点,
直线可化为,令,可得,
又,所以两动直线互相垂直,且交点为,
所以,
因为,
所以,当且仅当时取等号.
故选:D.
二、多选题:
9. 已知甲、乙两位同学在高一年级六次考试中数学成绩的统计如图所示,下列说法正确的是( )
A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为,则
B. 若甲、乙两组数据的方差分别为,则
C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
【答案】ACD
【解析】
【分析】对四个选项一一判断:根据散点图直接判断选项A、B、D;分析甲、乙的中位数特点,即可判断C.
【详解】由散点图的点的分布可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,
其他次考试成绩都高于乙同学,所以,故选项A正确;
由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选项B错误;
因为统计了6次数学成绩,故将一组数据从小到大排序后,第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数,
由散点图知,甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上,
而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下,故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C正确;
因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确.
故选:ACD.
10. 关于空间向量,以下说法正确的是( )
A. 若,则向量,的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点O,有,则四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不共面
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例判断A,利用空间向量共面定理判断B,利用空间向量的线性运算判断C,利用空间向量的平移性质判断D即可.
【详解】对于A,当,夹角为时,,故A错误,
对于B,由空间向量共面定理得,对于空间中的三个向量,
若有两个向量共线,则这三个向量一定共面,故B正确,
对于C,因为,
所以,
所以四点共面,故C正确,
对于D,由向量平移性质可得,空间中任意两个向量一定共面,故D错误.
故选:BC
11. 已知正四面体的棱长为2,点,分别为和的重心,为线段上一点,则下列结论正确的是( )
A. 若取得最小值,则
B. 若,则平面
C. 若平面,则三棱锥外接球的表面积为
D. 直线到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】将正四面体放入正方体中,建立空间直角坐标系,对每个选项逐一分析即可.
【详解】将正四面体放入正方体中,以点为原点,以,,所在直线为轴,轴,轴,如图所示,
因为正四面体的长为2,
所以正方体的棱长为,
则,,,
因为点,分别为和的重心,
所以点的坐标为,点的坐标为
所以
设,则,
所以,
所以,
,
对于A:因为,
,
所以,
当时,即,,取得最小值,故A错误;
对于B:若,则,
所以,
因为,,设平面的一个法向量为,
则,取,则,
因为,
所以平面,即平面,故B正确;
对于C:若平面,则,即,
,即,
设平面的一个法向量为,因为,,
则,取,则,
因为,
所以平面,则三棱锥外接球的球心在直线上,
又因为点为等边三角形的重心,
所以点为等边三角形的外心,外接圆半径为,
设三棱锥外接球的半径为,
则,即,解得,
所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为,故C选项正确;
对于D:因为点的坐标为,点的坐标为,
所以,
设平面的一个法向量为,
因为,,
所以,取,则,
因为,且直线平面,
所以直线平面,
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离,
则点到平面的距离,
即直线到平面的距离为,故D正确,
故选:BCD.
三、填空题:
12. 若连续抛两次骰子得到的点数分别为a,b,则点在直线上的概率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】用列举法写出样本空间的样本点,然后根据古典概型概率公式计算即得.
【详解】样本空间中所有样本点个数为,
其中在直线上的样本点有共6个,
所以所求概率为.
故答案为:.
13. 在等腰直角三角形中,,点是边上异于,的一点,光线从点出发,经,反射后又回到点,如图所示,若光线经过的重心,则的长度为_______.
【答案】
【解析】
【分析】求出点关于和直线的对称点,结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以为原点,分别为轴建立平面直角坐标系,
则直线方程为,
设关于和直线的对称点分别为,则,
记,则,解得,
因为为重心,,所以,
由光的反射原理可知,三点共线,所以,
即,解得(舍去)或.
故答案为:
14. 已知四面体中,,且与平面所成的角为,则当时,的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设,且点在平面内,根据条件,将问题转化成当在面上的投影与共线时,求的最小值,建立平面直角坐标系,得到,即点与,的距离之和,即可求出结果.
【详解】设,且点在平面内,取中点,
则,
显然,当在面上的投影与共线时,会比不共线的小,
当在面上的投影与共线时,以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,
又,且与平面所成的角为,设,
则,,,得到,,
所以,
其可表示为点与,的距离之和,作关于轴的对称点,
显然,
故答案为:.
【点睛】关键点点晴:本题的关键在于将问题转化成当在面上的投影与共线时,求的最小值,再通过建立平面直角坐标系,将问题转化成点与,的距离之和,从而解决问题.
四、解答题:
15. 如图,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,且与、的夹角都等于60°,M在棱上,,设,,.
(1)试用,,表示出向量;
(2)求.
【答案】(1);
(2)
【解析】
【分析】(1)由向量对应线段的位置关系,结合向量加减、数乘的几何意义用,,表示出即可;
(2)应用数量积的运算律及其定义求即可.
【小问1详解】
由图知:,,
.
【小问2详解】
.
16. 已知直线经过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线l的方程;
(2)若直线被两条相交直线:和:所截得的线段恰被点平分,求直线的方程.
【答案】(1)或;(2).
【解析】
【分析】
(1)当直线的斜率不存在时,直线方程为,符合条件.当直线的斜率存在时,设直线方程为,由点到直线的距离公式求得值,则直线方程可求;
(2)设直线夹在直线,之间的线段为(在上,在上),用点的坐标表示出点坐标,根据在上,在上,求得点的坐标,即可求得直线方程.
【详解】(1)①直线的斜率不存在时,直线方程为,符合条件.
②直线的斜率存在时,设直线方程为,
由原点到直线的距离为2得,
解得.
故直线的方程为,
即.
综上,所求直线的方程为或.
(2)设直线夹在直线,之间的线段为(在上,在上),
的坐标分别设为,,
因为被点平分,所以,,
即,.
由于在上,在上,即
解得,,即的坐标是,
故直线的方程是.
17. 某地区有小学生9000人,初中生8600人,高中生4400人,教育局组织网络“防溺水”网络知识问答,现用分层抽样的方法从中抽取220名学生,对其成绩进行统计分析,得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数;
(2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书,试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分;
(3)已知落在60,70内的平均成绩为67,方差是9,落在内的平均成绩是73,方差是29,求落在内的平均成绩和方差.
【答案】(1)平均数为71,众数为75.
(2)88 (3)平均数为76,方差为12.
【解析】
【分析】(1)在频率分布直方图中,平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和;众数是最高矩形横坐标的中点,据此求解.
(2)依题意可知题目所求是第分位数,先判断第分位数落在哪个区间再求解即可;
(3)先求出每组的比例,再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.
【小问1详解】
一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,
平均数
由图可知,众数为75.
以样本估计总体,该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分,众数为75分.
【小问2详解】
前4组的频率之和为,
前5组的频率之和为,
第90%分位数落在第5组,设为x,则,解得.
“防溺水达人”的成绩至少为88分.
【小问3详解】
的频率为0.15,的频率为0.30,
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为,,
依题意有,解得,
,解得,
所以内的平均成绩为76,方差为12.
18. 如图,在三棱台中,和都为等腰直角三角形,为线段的中点,为线段上的点.
(1)若点为线段的中点,求证:平面;
(2)若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为,求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明即可;
(2)利用体积比为确定点的位置,然后利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
连接,设连接,
三棱台 ,则,又
∴四边形为平行四边形,
故是的中点,且点是的中点,
故,且平面,平面,
故平面
【小问2详解】
,且面,则 面,
故,,
且三棱台中, ,故,
则,
平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为,
故,化简得:,
故此时点和点重合,
又为等腰直角三角形,则,又(1) 知,则面,
故建立如图所示的坐标系,
则 ,,
设平面的法向量
则,令解得,
设平面的法向量,
则,令,解得,
设二面角 的平面角为, ,
所以.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为,其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点,且平面,平面,…,平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和;
(2)如图,已知在三棱锥中,平面ABC,,,三棱锥在顶点C处的离散曲率为.
①求直线PC与直线AB所成角的余弦值;
②若点Q在棱PB上运动,求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值.
【答案】(1)2 (2)①;②
【解析】
【分析】(1)根据离散曲率的定义计算即可
(2)①首先证明,再由点处的离散曲率可求出,从而其它相应的线段都可计算,
把与平移至中位线处,得出为异面直线与的夹角或其补角,在用余弦定理求解即可.
②首先是把线面角做出,设,再把角的三角函数值表示成的函数,最后转化为函数最值问题.
【小问1详解】
由离散曲率的定义得:,
,
,
,
四个式子相加得:.
【小问2详解】
①如图,分别取的中点,连接,显然有,
所以为异面直线与的夹角或其补角,设,因为,所以,,
因为平面,平面,所以,,,,
因为,,所以平面,又因为平面,所以,
由点处的离散曲率为可得,
所以,,,而,,
所以,故异面直线与夹角的余弦值为.
②如图,过点做交与,连接,因为平面,所以平面,
则为直线与平面所成的角,设,
在中,
因为,所以,所以,
故,
当分母最小时,最大,即最大,此时,即(与重合),,所以的最大值为.
【点睛】关键点点睛:本题的关键是通过题目所给的新定义求出,从而计算出各边的长度,求与平面所成的角的最大值,首先是把线面角做出,设,再把角的三角函数值表示成的函数,转化为函数最值问题,求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题.
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