四川省自贡市第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出集合，根据对数函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：，
，
所以；
故选：C
2. 已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件得到函数是单增的，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集.
【详解】任意两个不相等的实数
因为，
所以与异号，
故是上的减函数，
原不等式等价于，
解得，
故选：B.
3. 已知为二次函数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式.
【详解】设，则，
由可得，
所以，，解得，因此，.
故选：B.
4. 若，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.
【详解】因为，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即的最大值为，
故选：C.
5. 已知实数，函数，若，则值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，，即，解得；
当时，，即，此时方程无解，
综上可得，实数的值为.
故选：B.
6. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为的定义域为0,+∞，，
由，得，解得，所以的递增区间为．
由于在区间上单调递增，则，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是．
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用函数在区间上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：
（1）区间为函数单调递增区间的子集；
（2）对任意的，恒成立.
同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.
7. 已知函数是定义在R上的偶函数，在区间0,+∞上单调递增，且，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可得不等式的解集.
【详解】函数是定义在R上的偶函数，在区间0,+∞上单调递增，且，
在−∞,0上单调递减，且，
显然不是的解，故此不等式可转化为：
或，
解得：或.
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性，考查了学生转化问题的能力.
8. 已知函数，以下说法错误的是（ ）
A. 使得的偶函数
B. 若的定义域为R，则
C. 若在区间上单调递增，则
D. 若的值域是，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，当恒成立时函数的定义域为，得到，从而判断B，令，则在上单调递减且大于恒成立，求出参数的值，即可判断C，由求出，即可判断D.
【详解】对于A：令，则，此时函数的定义域为，
且，即为偶函数，故A正确；
对于B：因为的定义域为，则恒成立，
即，解得，即，故B正确；
对于C：令，因为在定义域上单调递减，
要使函数在区间上单调递增，则在上单调递减且大于恒成立，
所以，即，解得，故C错误；
对于D：因为函数的值域是，所以，
所以，即，解得，即，故D正确；
故选：C
二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分）
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，判断各选项的结论是否正确.
【详解】若，则，
有， A选项正确；
若，满足，但不成立，B选项错误；
若，则有，可得，C选项正确；
若，当时，有，D选项错误.
故选：AC
10. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值可能是（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】作函数的图象，数形结合即可解决.
【详解】由题知，函数的图象如下，
方程可以看成与的交点，
所以由图知方程有三个不同的实数根时，，
故选：BC
11. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 命题：“，”的否定为：“，”
B. 设，，且有四个子集，则实数的取值范围是
C. 已知：，：，是的充分不必要条件
D. 方程有一个正实根，一个负实根，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项根据全称命题的否定判断即可；B选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后结合集合中元素的特征求的范围即可；C选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D选项根据根的判别式和韦达定理列不等式求解即可.
【详解】A选项：命题“，”的否定为：“，”，故A错；
B选项：，因为有四个子集，所以中有两个元素，则，且，即，，故B错；
C选项：表示所有奇数，表示部分奇数，所以是的必要不充分条件，故C错；
D选项：设方程得两个根分别为，，因为方程有一个正根，一个负根，所以，解得，故D正确.
故选：ABC.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知函数是幂函数，则实数m的取值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，可得，即，解得或，
代入，则可得或，符合题意.
故答案为：或.
13. 已知函数，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】求出导函数，利用列式求解即可.
【详解】由得，因为，所以.
故答案为：
14. 定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是________．
【答案】11
【解析】
【分析】分别分析与的性质，从而作出函数与函数图像，再观察其交点个数即可得解.
【详解】因为，所以，则的周期为2，
又为偶函数，且当时，，
所以可利用的周期性与奇偶性作出的大致图像，
因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以函数与函数的大致图像如图所示，

考虑特殊位置，当时，；
当时，；
当时，；
又函数的零点个数即函数与函数图像的交点个数，
所以由图像可知函数与函数图像的交点个数为11个.
故答案为：11.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题（共77分）
15 已知全集，集合，集合.求，，.
【答案】，，或.
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数单调性即可解出集合,，再根据集合的交并补运算即可得到答案.
【详解】因为，即，根据指数函数单调性可知，
则集合，，即，
根据对数函数单调性知，解得，即，
则，，或，
或.
16. 已知函数是定义在上的函数．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断函数单调性，并用定义法证明；
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；
（2）根据单调性的定义判断和证明即可.
【小问1详解】
函数f（x）为奇函数
证明如下：函数f（x）的定义域为，
.
所以函数f（x）为奇函数.
【小问2详解】
f（x）在上为单调递增函数
证明如下：
设－1＜x1＜x2＜1，
则.
因为－1＜x1＜x2＜1，，
所以，
则.
故f（x）在上为单调递增函数.
17. 已知函数
求曲线y=f(x)在点处的切线方程
若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围
【答案】(1) x+y-1=0.
(2) .
【解析】
【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；
(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.
【详解】（1）因为，所以.
所以
又
所以曲线在点处的切线方程为
即.（5分）
（2）由题意得，，
所以.
由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
又，，
若函数恰有两个零点，
则解得.
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.
18. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
（1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
（2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【答案】（1）40 （2）102万平方米，售价为30欧元.
【解析】
【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得；
（2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，
则有，
解得：，
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.
【小问2详解】
，
整理得：，
除以得：，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，
才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，
此时的售价为30欧元/平方米.
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若a>0，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若a>0，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.